硬い常微分方程式系の数値解法に関する研究

常微分方程硬系统数值解研究

基本信息

批准号：
05740123
负责人：
小藤俊幸
金额：
$ 0.58万
依托单位：
The University of Electro-Communications
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1993
资助国家：
日本
起止时间：
1993 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

理工学の種々の応用分野に現れる常微分方程式系は,通常の数値解法では取扱いが困難な系,いわゆる,硬い常微分方程式系となることが多い.本研究では,そうした硬い系の典型として,微分方程式と代数方程式が混在した系である微分・代数系,半離散偏微分方程式と呼ばれる発展型偏微分方程式の空間変数に関する離散近似により得られる大規模系,反応遅れなど,遅れ時間を含む微分方程式系である遅延微分方程式系の3種を取り上げ,ルンゲ・クッタ法と総称される解法群の適用について考察した.微分・代数系に関してはルンゲ・クッタ法の中でも,特に,陰的ルンゲ・クッタ法と呼ばれる方法の有効性が,従来より理論的な観点から指摘されてきた.ただし,同法を計算機上で実現するためには,非線型方程式の効率的な求解法が見出すことが必要となる.これについて,有限反復簡易ニュートン法と称する方法を提案し,その有効性を理論的な考察,ならびに,数値実験により検証した.また,半離散偏微分方程式については,次数低下と呼ばれる現象が知られている.こけは,通常の微分方程式に適用した際の数値解法の精度規範である次数が,こうした系の場合には必ずしも有効ではなく,次数から期待されるほどの精度が得られないことを言う.この問題を回避する方策をいくつか提案したが,そのうちのひとつのは,並列処理技術を応用することによって,より一層の効率化を図ることが可能である。遅延微分方程式系については,自然ルンゲ・クッタ法と呼ばれる方法についての数値的な安定性を理論的に検証した.この方法の有効性は,今後,現実的な問題への適用を図る等,より実証的な方法もまじえて明らかにしていく予定である。

出现在科学和工程各个应用领域中的常微分方程组通常是所谓的常微分方程硬系统，它们是难以用普通数值方法处理的微分/代数系统，即微分方程的混合系统。和代数方程，以及演化的偏微分方程的空间变量的离散近似称为半离散偏微分方程。我们提出了三种类型的延迟微分方程系统，即包含延迟时间的微分方程系统，例如通过反应延迟获得的大规模系统，并考虑了一组统称为龙格-库塔方法的求解方法的应用.微分代数系统在龙格-库塔方法中，从理论角度指出了隐式龙格-库塔方法的有效性。然而，为了在计算机上实现该方法，需要找到一种有效的非线性方程求解方法。为此，我们提出了一种称为有限迭代简化牛顿法的方法，并通过理论验证了其有效性。考虑因素和数值实验。此外，对于半离散偏微分方程，已知一种称为降阶的现象。这意味着阶数，即应用于常微分方程时数值解的精度标准，在此类系统的情况下不一定有效，并且无法获得阶数所期望的精度，我们提出了几种避免的措施。其中之一就是通过应用并行处理技术可以实现更高的效率。对于时滞微分方程系统，我们从理论上验证了一种称为自然龙格-库塔方法的数值稳定性，我们还计划阐明经验方法。