ヤコビ-形式の研究

雅可比形式的研究

基本信息

批准号：
03640102
负责人：
荒川恒男
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Rikkyo University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1991
资助国家：
日本
起止时间：
1991 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-03640102/
关键词：
ヤコビ-形式 Hecke作用素 Selberg跡公式 Selbergゼ-タ関数 Chowla予想楕円曲線 Lー関数

项目摘要

1.ヤコビ-形式の空間へのHecke作用素の作用の跡(trace)を、群SL_2(R)のHrjhal,Fischerらによって得にれた一般的なSelberg跡公式を用いてexplicitに計算した。一般的Selberg跡公式が利用できることの利点として、weightの小さいヤコビ-形式の空間へのHecke作用素の跡が、ある種のSelberg型ゼ-タ関数の極の留数を用いて閉じた形に記述できる。特別な場合には、このSelberg型ゼ-タ関数は、群SL_2(Z)のthetaーmultiplier system付きのSelbergゼ-タ関数になる。また、同じ手段により、歪正則なヤコビ-形式の空間へのHecke作用素の跡も、explicitに計算できる。我々の方法では、正則、歪正則なヤコビ-形式の空間へのHecke作用素の跡が統一的に扱える利点があり、weightの小さい場合のそれらの跡の間の関係がSelberg型ゼ-タ関数の極の留数を介して自然に導かれる。2.実2次体の類数に関するChowla予想に関連してChowla予想の仮定をみたす実2次体の判別式Dについて新しい評価を得た。GoldfeldーDesterleの方法を深化させ、MordellーWeil rankが3つの有理数体上のmodular楕円曲線の存在(このような例は知られている)を仮定して、上記判別式Dの上からの評価を得た。この評価に、楕円曲線のL-関数のS=1での値が関係してくる点が興味深い。特に、楕円曲線のS=1での値(critical pointsでの特殊値)に関するLindelof仮説を仮定すれば、判別式Dの値の上からのeffectiveな評価が得られる。この仮説は、ある場合には、半整数保型形式のRamanujan予想と同値であることが知られており、Chowla予想がこのような保型形式の理論の難しい予想と結びつくことは注目すべき点である。

1. 使用 Hrjhal、Fischer 等人针对 SL_2(R) 群获得的一般 Selberg 迹公式显式计算了雅克比型空间上的 Hecke 算子作用迹。能够使用一般Selberg迹公式的优点在于，可以使用某个Selberg型zeta函数的极点留数以闭合形式描述具有小权重的雅克比型空间中的Hecke算子的迹。。在特殊情况下，这个Selberg型zeta函数变成具有群SL_2(Z)的theta乘子系统的Selberg zeta函数。此外，通过同样的方法，我们可以显式计算 Hecke 算子在扭曲正则雅可比形式空间中的迹。我们的方法的优点是可以统一处理正则雅可比形式空间和扭曲正则雅可比形式空间中的赫克算子迹，并且权重较小时这些迹之间的关系类似于Selberg型zeta函数。自然引导通过极性残基。 2.结合关于实二次域类数的Chowla猜想，我们得到了实二次域判别式D的新评价，它满足Chowla猜想的假设。通过深化 Goldfeld-Desterle 方法并假设 Mordell-Weil 阶为 3 的有理数域上存在模椭圆曲线（这样的例子是已知的），我们可以从上面评估上述判别式 D。有趣的是，这个评估涉及到 S=1 时椭圆曲线的 L 函数的值。特别是，如果我们对椭圆曲线在 S=1 处的值（临界点上的特殊值）假设林德洛夫假设，我们可以从判别式 D 的值之上获得有效的评估。已知该假设在某些情况下相当于半整数自同构形式的拉马努金猜想，值得注意的是，乔拉猜想与自同构形式理论中的困难猜想有关。