擬微分作用素論とハミルトン作用素

伪微分算子理论和哈密顿算子

基本信息

批准号：
02640120
负责人：
長瀬道弘
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1990
资助国家：
日本
起止时间：
1990 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

数理物理学における基本的な偏微分方程式であるシュレディンガ-方程式、ディラック方程式などの研究に擬微分作用素論の手法を用いるのが本研究の目的である。相対論的あるいは非相対論的量子化ハミルトニアンの自己共役性に付いては、定数磁場を含む広いクラスの磁場ポテンシャルを持った場合でも擬微分作用素論の手法を用いて本質的自己共役性を示している。更に、磁場のベクトルポテンシャルが与えられている場合でも、相対論的ハミルトニアンに於いて粒子の質量を表すパラメ-タ-を無限大にしたときに、非相対論的ハミルトニアンにどの様に収束するかに付いても詳細な結果を得ており、これらは一昨年(平成元年)12月にタイペイで、更に昨年(平成2年)3月アメリカのアラバマ州のシンポジウムにおいて発表した。この主結果は論文として投稿中である。量子化ハミルトニアンのスペクトル解析に於いては、作用素の一般論から自己共役作用素の分数べきまたは複素数べきが大切な役割をなすことが知られているが、適当な条件のもとで擬微分作用素の複素数べきを構成することで相対論的または非相対論的量子化ハミルトニアンの複素べきを構成することにもほぼ成功した。これはシュレディンガ-方程式に対するスペクトル解析への応用が期待される。また、確率過程論において大切な研究課題であるレヴィ過程の生成作用素に現れるジャンプ過程を記述する作用素はラプラス作用素の分数べきとなるが、この作用素に対する初期値問題の基本解の構成のための作用素の分割定理を証明した。この定理も擬微分作用素論的にはより一般の定理を示すことが出来る。

本研究的目的是利用伪微分算子理论的方法来研究数学物理中的基本偏微分方程，例如薛定谔方程和狄拉克方程。关于相对论或非相对论量子化哈密顿量的自伴性，我们使用伪微分算子理论的方法表明，即使它们具有包括恒定磁场在内的广泛类别的磁场势，它们也表现出本质的自伴性。。此外，即使给出了磁场的矢量势，当代表粒子质量的参数无穷大时，相对论哈密顿量如何收敛到非相对论哈密顿量？ 2018年12月（平成1年）在台北召开了研讨会，去年3月（1990年）在美国阿拉巴马州再次召开了研讨会。主要结果目前正在以论文形式提交。在量子化哈密顿量的谱分析中，从算子的一般理论可知，自伴算子的分数或复幂起着重要的作用，我们也几乎成功地构造了相对论或非相对论量子化哈密顿量的复幂。通过构建复杂的权力。这有望应用于薛定谔方程的谱分析。另外，随机过程理论的一个重要研究课题——Lévy过程的生成算子中出现的描述跳跃过程的算子是拉普拉斯算子的分数幂，我们证明了分治定理。该定理也可以用伪微分算子理论表达为更一般的定理。