有理特異点とFrobenius写像の作用

理性奇点作用和 Frobenius 图

基本信息

批准号：
02640076
负责人：
渡辺敬一
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Tokai University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1990
资助国家：
日本
起止时间：
1990 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

有理特異点の概念は特異点の解消等の代数幾何的な方法で定義されるが、最近HochsterとHunekeによって、標数 P のFrobenius写像を用いたイデアルのtight closureの概念が定義され、この概念から自然に得られるFーregular ring,Fーrational ringの概念が有理特異点の概念と深い関わりがある事が予想された。本研究は、その関わりを明らかにすることを目的としている。本年度に得られた結果は、(1)canonical moduleの最高次の局所コホモロジ-を用いたFーregular ring,Fーpure ringの特徴づけが得られ、これによって特にgraded ringに対してこれらの性質が、divisorの言葉におきかえられた。(2)(1)の結果を用いて、2次元のFーregular ringの分類がなされ、"標数0"に於いてFーregular ringの概念が2次元ではquotient singularityと、更にlogーterminal singularityの概念と同値であることが示せた。一般次元に於いてFーregular ringの概念が有理特異点の中のどういう部分族と対応するかを調べるのは今後の興味ある課題である。(3)graded ring Rでproj(R)=P^nとなるものについて、RがFーregularになるための条件を求めた。結果は、Rを与える有理係数divisorの分数部分の次数と特異点の状態によって記述されるが、この結果もRが有理特異点となるための条件と、"標数0"(または十分大きいp)に於いて一致している。この事実の直接証明はまだ得られていないが、有理特異点とFーrational ringの同値性の一つの傍証になっている。上記の結果を得る過程に於いて、多項式の計算、イデアルのfree resulutionを求める計算等で多量の例から結論を推測する方法は能率的である。その意味でcomputerの果たした役割は大きい。

有理奇点的概念是通过奇点解析等代数几何方法来定义的，但最近 Hochster 和 Huneke 使用特征 P 的 Frobenius 映射定义了理想的紧闭包的概念，并且这个概念被预测为 F 的概念由上自然得到的-正则环和F-有理环，与有理奇点的概念有着深刻的联系。本研究旨在阐明这种关系。今年获得的结果如下： (1) 得到了使用正则模的最高阶局部上同调来表征F-正则环和F-纯环，特别是对于用梯度环代替时获得了这些性质。词除数。 (2)利用(1)的结果，对二维F-正则环进行分类，并将“特征0”中的F-正则环的概念改为二维的商奇点和对数终端。这相当于奇点的概念。探究正则环的概念在一般维度上对应于有理奇点的哪一个子群，这将是未来研究的一个有趣的课题。 (3) 对于梯度环R，使得proj(R)=P^n，我们找到了R成为Fregular的条件。结果用给出 R 的有理系数除数的小数部分的次数和奇点的状态来描述，但这个结果还需要 R 是有理奇点的条件和“特征 0”的条件（或足够大的 p ) 是一致的。虽然这一事实尚未得到直接证明，但它是有理奇点与F-有理环等价的支持证据之一。在获得上述结果的过程中，从大量的例子中推断出结论是有效的，例如通过计算多项式或计算理想的自由分辨率。从这个意义上说，计算机发挥了重要作用。