数論的関数の解析表示

算术函数的解析表示

基本信息

批准号：
02640039
负责人：
久保田富雄
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1990
资助国家：
日本
起止时间：
1990 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-02640039/
关键词：
数論的関数保型形式ゼ-タ関数無限次行列

项目摘要

研究は当初の目的を十分に達成することができた。新しく得られた知見のうち主要なものは,研究代表者によって得られた保型形式と無限次行列との関係である。1915年頃ヒルベルトとポリヤはリ-マンのゼ-タ関数の零点はある種の作用素の固有値によって解釈されるのではないかという想像を述べたといわれる。作用素と無限次行列は同じようなものであるから,彼等はリ-マンのゼ-タ関数の特性が,何らかの形で無限次行列に反映しているのではないかという感触を表明したともいえる。しかし実際には彼等自身によって書かれた文献があるわけではなく,またその後その方向における具体的な進展もほとんどなく,多少関連があると見なし得るものとして,保型形式と不変作用素や表現論を結合させた理論が近年比較的活発な一分野をなしている程度であった。本研究では,保型形式のフ-リエ係数を成分とする無限次ベクトルが,ある種の特殊関数の値によって作られた無限次行列の零化ベクトルの形ですべて得られることを示し,同様の方法がリ-マンのゼ-タ関数の零点を求めるためにも有効であることを示したもので,上記ヒルベルトーポリヤの発想に全く新しい具体化の道を与えたものである。数論的関数の解析表示という問題は,非常に広大なものであるが,本研究はフ-リエ係数を数論的関数と見た場合について,相当な進展をもたらしたということができる。なお,分担者らはそれぞれの専門分野において,リストにあげられたような研究結果を得た。それらは,主として,2次形式,保型形式,および代数体に関するものであるが,いずれも本研究の結果を更に一般化するために,重要な情報を与えるものである。

这项研究能够完全达到最初的目的。获得的主要新知识是自守形式与无限阶矩阵之间的关系，这是由课题负责人获得的。据说在 1915 年左右，希尔伯特和波利亚表达了黎曼 zeta 函数的零点可以用某种算子的特征值来解释的想法。由于算子和无限阶矩阵相似，所以我可以这么说，他们表达了黎曼 zeta 函数的属性在某种程度上反映在无限阶矩阵中的感觉。但实际上，并没有他们自己撰写的文献，而且此后在这方面几乎没有具体进展。近年来，将两者结合起来的理论已成为一个相对活跃的领域。在这项研究中，我们证明了所有其分量为自同构傅里叶系数的无限维向量都可以以由一些特殊函数的值创建的无限维矩阵的归零向量的形式获得，并且类似地，该方法被证明为可以有效地找到黎曼 zeta 函数的零点，并且它为实现 Hilbert-Polyja 的想法提供了一种全新的方法。数论函数的解析表示问题是一个非常广泛的问题，但是当傅里叶系数被视为数论函数时，这项研究可以说带来了相当大的进展。此外，研究人员还获得了各自专业领域列出的研究成果。它们主要涉及二次型、自守型和代数域，但它们都为进一步推广本研究的结果提供了重要信息。