代数多様体の数論的性質について

论代数簇的算术性质

基本信息

批准号：
01540022
负责人：
前田博信
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Tokyo University of Agriculture and Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1989
资助国家：
日本
起止时间：
1989 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01540022/
关键词：
ゼ-タ関数形式群局所パラメ-タ無限次元リ-環フ-リエ変換

项目摘要

代表者は研究分野の異なる分担者との討論を通して他の研究分野における成果や方法等を吸収しつつ以下のような成果および今後の研究への展望を得た。代数体上で定義されている代数多様体、特に楕円曲線、のハッセのゼ-タ関数について多くの興味ある問題と未解決の予想があり、これらに対してどのようにアプロ-チするかが課題であった。まずハッセのゼ-タ関数が他の数学的対象と関係をもつ場合について。楕円曲線にはその群の構造から定まる形式群があり、その変換子のある展開はゼ-タ関数と同じ係数をもつことが知られているがこれを見つける方法が知られていないため形式群からゼ-タ関数の性質を導くことは困難である。問題は変換子を展開する局所パラメ-タをどうやって見つけるかであるが、現在素粒子論いとの関連で研究されている無限次元のモジュライ空間が代数曲線の局所パラメ-タの情報を含んでいることに注目しこの空間およびこの空間に作用している無限次元リ-環を詳しく研究することによってゼ-タ関数と関係する局所パラメ-タを解明できる可能性がある。一方、近年整数論でl進フ-リエ変換の理論が発展し、これまで標数pの場合には知られていた、ゼ-タ関数の関数等式にでてくる定数が局所定数の積に分解すること、の理由などが分かってきた。この理論が混合標数の場合にも拡張できればゼ-タ関数を他の解析関数、モジュラ-関数、の性質に帰着させることができる。又、このフ-リエ変換は作用素環の言葉では接合積に対応するのでこういう代数的な形で整数論へ拡張できることが期待される。

通过与不同研究领域的参与者的讨论，代表们吸收了其他研究领域的成果和方法，得到了以下成果和对未来研究的展望。关于代数域上定义的代数簇的 zeta 函数，尤其是椭圆曲线，存在许多有趣的问题和未解决的猜想，目前还不清楚如何处理这些问题，这是一个挑战。首先，我们考虑 Hasse 的 zeta 函数与其他数学对象有关系的情况。椭圆曲线有一个由群结构决定的形式群，已知其变压器的某个展开式与zeta函数具有相同的系数，但没有已知的方法可以找到它，因此它是一个形式群很难从 zeta 函数的性质中推导出来。问题是如何找到展开变压器的局部参数，但是目前正在结合基本粒子理论研究的无限维模空间包含了代数曲线局部参数的信息。通过详细研究作用于该空间的无限维李代数，可以阐明与 zeta 函数相关的局部参数。另一方面，近年来，数论中发展了l进傅里叶变换理论，以前在特征p的情况下已知的zeta函数的函数方程中出现的常数现在被称为我们现在明白了它被分解为的原因。如果这个理论可以扩展到混合特征的情况，我们就可以将zeta函数归因于其他解析函数的属性，例如模函数。此外，由于该傅里叶变换对应于算子代数方面的结积，因此预计它可以以这种代数形式扩展到数论。