多元環の表現論に現れる拡大閉部分圏の包括的研究

代数表示论中出现的扩展封闭子范畴的综合研究

基本信息

批准号：
22KJ1592
负责人：
酒井嵐士
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2023
资助国家：
日本
起止时间：
2023-03-08 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ1592/
关键词：
多元環の表現論ねじれ類 ICE閉部分圏 IE閉部分圏

项目摘要

本年度は大阪公立大学の榎本悠久氏との共同研究でIE閉部分圏の関手的有限性と分類に関する結果を得た。IE閉部分圏とは加群圏において拡大と像で閉じる部分圏であり、これはねじれ類（拡大と商で閉じる部分圏）とねじれ自由類（拡大と部分加群で閉じる部分圏）の共通部分として表せる部分圏に他ならないことが知られている。すべてのねじれ類が関手的有限になるような多元環をτ傾有限な多元環といい、いくつかの特徴づけが知られている。これはすべてのICE閉部分圏が関手的有限であることと同値であることがすでに分かっていたが、すべてのIE閉部分圏が関手的有限であることとも同値であり、さらにIE閉部分圏が有限個しか存在しないこととも同値であることを示した。関手的有限なねじれ類は台τ傾加群を用いて分類されることが知られている。双rigid加群という加群の対を導入し、これを用いることで関手的有限なIE閉部分圏の分類を遺伝的多元環（大域次元が１以下の多元環）の場合に与えた。さらに双rigid加群は古典的な傾加群と関連することがわかり、傾加群の変異理論を用いることで双rigid加群の変異を導入した。この変異により有限表現型の遺伝的多元環の場合に双rigid加群をすべて求める計算方法を得た。また遺伝的多元環上ではIE閉部分圏は拡大と直和因子をとる操作で閉じる部分圏に他ならないことが知られており、この事実と分類定理を組み合わせることでAuslander-Smaloによる拡大閉部分圏の射影生成子と移入余生成子に関する予想が遺伝的多元環の場合に正しいことがわかった。

今年，我们与大阪公立大学的Yukihisa Enomoto先生共同研究，获得了关于IE封闭子类别的函子有限性和分类的结果。 IE闭合子类别是由模块类别中的扩展和图像闭合的子类别，这对于扭转类（由扩展和商闭合的子类别）和无扭转类（由扩展和子模块闭合的子类别）是常见的。只是一个可以表示为一部分的子类别。所有挠率类在函数上都是有限的代数称为 τ 倾斜代数，并且有几个特征是已知的。我们已经知道，这相当于所有 ICE 封闭子类别在函数上是有限的，但它也相当于所有 IE 封闭子类别在函数上是有限的这一事实，我们证明了它也相当于仅存在的事实。有限数量的子类别。众所周知，类似函子的有限扭转类可以使用平台 τ 梯度模块进行分类。我们引入了一对称为 birigid 模块的模块，并用它来给出遗传代数（全局维数小于或等于 1 的代数）的函子有限 IE 闭合子类别的分类。此外，我们发现birigid模块与经典梯度群相关，并利用梯度群的变异理论引入了birigid模块的变异。通过这种突变，我们获得了一种在具有有限表型的遗传代数情况下查找所有双刚性模的计算方法。还知道，在遗传代数上，IE闭子范畴只不过是一个可以通过推广和取直和因子运算来闭的子范畴，结合这一事实和分类定理，我们可以使用Auslander- Smalo 扩展闭子范畴事实证明，关于范畴的射影生成元和内射同生成元的猜想在遗传代数的情况下是正确的。