Study of high performance and accuracy eigenvalue solvers for quantum many-body systems

量子多体系统高性能、高精度特征值求解器研究

基本信息

批准号：
22K12052
负责人：
山田進
金额：
$ 2.5万
依托单位：
Japan Atomic Energy Agency
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

電子間に強い相関のある量子多体モデルの物理的性質を知る方法の1つとして、モデルのエネルギーを表現する行列であるハミルトニアンの固有値・固有ベクトルを計算する方法がある。そこで、本研究では、量子多体問題から導かれるハミルトニアンの１つまたは複数の固有値およびそれに対応した固有ベクトルを高速に計算することを目標としている。令和４年度は、固有値計算の反復法の１つであるLOBPCG法の高速化を対象に研究を進めた。この方法は解ベクトル、探索方向ベクトル、残差ベクトルを用いた反復計算により固有値・固有ベクトルを求める方法であり、これらのベクトルを複数個用いて反復計算を行うことで複数の固有値・固有ベクトルを計算することができる。しかし、求める固有値・固有ベクトルの個数が増加すると収束するまでの反復回数が非常に多くなることがある。この問題を解決するため、反復に利用する探索方向ベクトルを少ない計算量で適切に修正するすることで収束性を向上させる方法を提案し、その有効性を確認した。また、複数の固有値・固有ベクトルを同時に計算しているため、先に収束した固有値・固有ベクトルに対応した残差ベクトルのノルムは小さくなり、反復計算には利用できなくなる。そこで、この利用しない残差ベクトルの代わりに収束していない固有値・固有ベクトルの残差ベクトルのKrylov列を用いる方法を提案し、計算量を増加させることなく収束性を向上できることを実際の並列計算から確認した。さらに、この反復計算を安定に実行するためには、反復に用いるベクトル群が直交している必要があり、LOBPCG法のアルゴリズムの特徴を利用し、上記のベクトルの修正を行いつつ、ベクトル同士を高速に直交化する方法を提案し、実際の並列計算により安定かつ高速に計算することを確認した。

理解电子之间具有强相关性的量子多体模型的物理性质的一种方法是计算哈密顿量的特征值和特征向量，哈密顿量是表示模型能量的矩阵。因此，这项研究的目标是快速计算由量子多体问题导出的哈密顿量的一个或多个特征值以及相应的特征向量。 2020财年，我们进行了加速LOBPCG方法的研究，该方法是计算特征值的迭代方法之一。该方法使用解向量、搜索方向向量和残差向量通过迭代计算来计算特征值和特征向量，可以通过使用多个这些向量进行迭代计算来计算多个特征值和特征向量。然而，随着待确定的特征值和特征向量的数量增加，收敛所需的迭代次数可能会变得极大。为了解决这个问题，我们提出了一种通过适当修改迭代时使用的搜索方向向量来提高收敛性的方法，计算量较小，并验证了其有效性。此外，由于同时计算多个特征值和特征向量，先收敛的特征值和特征向量对应的残差向量的范数变小，无法用于迭代计算。因此，我们提出了一种使用未收敛的特征值和特征向量的残差向量的Krylov序列来代替这个未使用的残差向量的方法，并从实际并行计算中证实了可以在不增加计算量的情况下提高收敛性。此外，为了稳定地进行这种迭代计算，迭代所使用的向量必须是正交的，利用LOBPCG算法的特点，可以对向量进行如上所述的修改，并且可以将向量进行快速正交化。方法并在实际并行计算中证实了该方法稳定、快速。