粘性解理論の種々の距離空間への拡張

将粘性解理论扩展到各种度量空间

• 批准号: 13J07077
• 负责人: 中安 淳
• 金额: $ 1.92万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2013
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2013-04-01 至 2016-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13J07077/
• 关键词: 非線形偏微分方程式論; ハミルトン・ヤコビ方程式; 全変動流; フラクタル; クリスタライン曲率流; 粘性解理論; 勾配流; 距離粘性解; 粘性解; 最適制御理論; 弱KAM理論; 解の長時間挙動; 特異拡散方程式; 等高面法

本年度は前年度に引き続き非線形方程式論特に粘性解理論と変分学および非ユークリッド的な距離構造のもとでの方程式について研究し、以下の分野で新たな成果を挙げた。1. 距離空間上のハミルトン・ヤコビ方程式。ネットワークやフラクタルを含む一般の距離空間上の凸あるいは準凸なハミルトニアンを持つハミルトン・ヤコビ方程式に対してGangboとSwiechにより導入された粘性解の安定性を中心とした研究を行った。結果として一般的な安定性を示し、定常および非定常ハミルトン・ヤコビ方程式の性質を調べ、最終的に空間がコンパクトな場合の解の長時間挙動を正当化した。本研究は計画の距離粘性解理論の構築に関わるもので、計画よりも多くの成果を挙げることができた。2. 特異拡散方程式。クリスタライン曲率流の研究を動機とする異方的な全変動流について勾配流的解釈と粘性解理論的解釈の関係性について考察した。主な成果としてエネルギー解と粘性解の整合性に関する部分的な結果を得た。また、結果を一般化する過程でエネルギー密度関数が区分的線形の場合を深く考察し、粘性解理論と適合させるためのエネルギー密度関数の新しい近似手法を開発した。本研究はワルシャワ大学のP. Rybka教授を訪問した際に行った。3. 時間分数階微分方程式。土壌中の移流拡散現象のモデルを動機としてハミルトン・ヤコビ方程式の時間微分がCaputo微分に一般化された場合を考察した。以上の研究や関連するこれまでの研究は招待講演を引き受けるなどして計画より多い様々な研究集会、国際会議で発表した。多くの研究者からコメントを得て、今後の研究の方向性を決めることができた。

今年，我们继往年的基础上，对非线性方程理论，特别是粘性解理论、变分理论、非欧距离结构下的方程进行了研究，在以下领域取得了新成果。 1. 度量空间上的 Hamilton-Jacobi 方程。我们的研究重点是 Gangbo 和 Swiech 为包含网络和分形在内的一般度量空间上具有凸或拟凸哈密顿量的 Hamilton-Jacobi 方程引入的粘性解的稳定性。结果，我们表现出了一般稳定性，研究了稳态和非稳态 Hamilton-Jacobi 方程的性质，并最终证明了空间紧致时解的长期行为。这项研究涉及计划距离粘度解理论的构建，我们取得了比计划更多的成果。 2.奇异扩散方程。受晶体曲率流研究的启发，我们考虑了各向异性总涨落流的梯度流解释与粘性解理论解释之间的关系。主要结果是关于能量溶液和粘性溶液的稠度的部分结果。此外，在推广结果的过程中，我们深入考虑了能量密度函数为分段线性的情况，并开发了一种新的能量密度函数逼近方法，使其与粘性解理论兼容。这项研究是在访问华沙大学 P. Rybka 教授期间进行的。 3.时间分数阶微分方程。受土壤中平流扩散现象模型的启发，我们考虑将 Hamilton-Jacobi 方程的时间导数推广到 Caputo 导数的情况。迄今为止，上述研究及相关研究已在比计划更多的研究会议和国际会议上发表，包括接受邀请讲座。我们收到了许多研究人员的意见，并能够决定未来研究的方向。

项目成果

Crystalline curvature flow of a graph-like curve and corresponding obstacle problems

类图曲线的晶体曲率流及相应的障碍问题

• 发表时间: 2015
• 作者: Gui P;Ebihara S;Kohzuki M;et al.;Segawa R;Yoshihide Takeda;Atsushi Nakayasu
• 通讯作者: Atsushi Nakayasu

On stability properties and large time behavior of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations on metric spaces

度量空间上Hamilton-Jacobi方程粘度解的稳定性和大时间行为

• 发表时间: 2015
• 作者: Gui P;Ebihara S;Kohzuki M;et al.;Segawa R;Yoshihide Takeda;Atsushi Nakayasu;武田祥英;Atsushi Nakayasu;Atsushi Nakayasu;中安淳;中安淳
• 通讯作者: 中安淳

On one-dimensional singular diffusion equations with spatially inhomogeneous driving force

具有空间非均匀驱动力的一维奇异扩散方程

• 发表时间: 2015
• 作者: Gui P;Ebihara S;Kohzuki M;et al.;Segawa R;Yoshihide Takeda;Atsushi Nakayasu;武田祥英;Atsushi Nakayasu
• 通讯作者: Atsushi Nakayasu

Homogenization and cell problem for a noncoercive quasiconvex Hamiltonian

非强制拟凸哈密顿量的均质化和单元问题

• 发表时间: 2015
• 作者: Gui P;Ebihara S;Kohzuki M;et al.;Segawa R;Yoshihide Takeda;Atsushi Nakayasu;武田祥英;Atsushi Nakayasu;Atsushi Nakayasu
• 通讯作者: Atsushi Nakayasu

Two approaches to minimax formula of the additive eigenvalue for quasiconvex Hamiltonians

拟凸哈密顿量加性特征值极小极大公式的两种求解方法

• 发表时间: 2015
• 作者: Gui P;Ebihara S;Kohzuki M;et al.;Segawa R;Yoshihide Takeda;Atsushi Nakayasu;武田祥英;Atsushi Nakayasu;Atsushi Nakayasu;中安淳
• 通讯作者: 中安淳