低次元力学系におけるカオスの研究

低维动力系统混沌研究

• 批准号: 08740134
• 负责人: 辻井 正人
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740134/
• 关键词: カオス; エントロピー; 圧間力学系; 1次元力学系

本研究においては区間力学系の族におけるカオスの分岐の詳細な構造の研究を主にMilnor-Thurtston単調性と呼ばれる区間力学系の族におけるエントロピーに関する問題に関連させて研究した。この問題は区間から区間への連続写像の族が与えられたときにそれらの生成する力学系の族のエントロピーがパラメータについて(区分的に)単調に依存するかという問題であり、本研究ではfが単峰写像(臨界点がただ一つである写像)でありその写像にある定数を足す、f (x)+t (tはパラメータ)いう特別な族においての単調性を研究した。これはカオスにおける分岐を研究する上で基本的な問題である。本研究の最大の成果は単調性を示すための一つの等式を発見したことである。この等式は有限な、即ち、臨界点が周期的な単峰写像においてその周期点の間に挟まれた区間の長さの比を考えることによって得られる。一般に単調性を証明する場合には全ての有限な組み合わせについて複雑な不等式を証明しなければならない。このことは問題を困難なものにしている。しかし、上で得られた等式はその不等式と非常によく似ており、組み合わせについてのいくつかの制限の下でこの等式との比較によって必要な不等式を証明した。特にfが対称で凸かつ負のシュワルツ微分を持つ場合には長さ10以下のKneading列について、そこでエントロピーが単調になることを証明した。現在のところそれ以外の組み合わせの場合についても特別な問題点は発見されていないが組み合わせ的な複雑さが原因で制限を外せないでいる。今後の課題はいかにして組み合わせ論的な複雑さを減らして一般の組み合わせについて単調性を証明するかということである。

在这项研究中，我们研究了区间动力系统族中混沌分岔的详细结构，主要涉及称为 Milnor-Thurtston 单调性的区间动力系统族中的熵问题。这个问题是关于当给定一系列从区间到区间的连续映射时，它们生成的动力系统族的熵是否单调（分段）依赖于参数。我们研究了 f (x)+ 的特殊族中的单调性。 t（t 是参数），其中 是单峰图（只有一个临界点的图），并向该图添加一个常数。这是研究混沌分岔的一个基本问题。这项研究的最大成果是发现了一个证明单调性的方程。该方程是通过考虑有限（即，其临界点是周期性的单峰映射）中夹在周期点之间的截面的长度比而获得的。一般来说，为了证明单调性，需要证明所有有限组合的复不等式。这使得问题变得困难。然而，上面得到的方程与那个不等式非常相似，并且我们通过与这个方程的比较证明了必要的不等式，但受到一些组合的限制。特别是，当 f 是对称、凸且具有负 Schwartz 导数时，我们证明对于长度小于 10 的捏合序列，熵是单调的。目前，其他组合尚未发现特殊问题，但由于组合的复杂性，无法消除限制。未来的挑战是如何降低组合复杂度并证明一般组合的单调性。