特異点をもつ曲面の微分幾何構造の離散化

具有奇异点的曲面微分几何的离散化

• 批准号: 17K14197
• 负责人: 直川 耕祐
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Hiroshima Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2017
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2017-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-17K14197/
• 关键词: 特異点; カスプ辺; 交叉帽子; 燕の尾; カスプ状交叉帽子; 可展面; 離散化; 折り紙; 曲線折り; 異性体; 結び目; メビウスの帯; コソフスキ計量; 等長変形; 幾何学; 微分幾何学; 離散微分幾何学

本研究では，特異点をもつ曲面の離散化に必要な(滑らかな曲面の)微分幾何学的性質を明らかにするとともに，その離散的対応物の研究を行うことを目的としている．2022年度は2021年度からの研究の継続により，主に特異点をもつ滑らかな曲面に関する成果を得た．具体的には以下の通りである．(1) 2021年度よりの継続として，本田淳史氏，佐治健太郎氏，梅原雅顕氏，山田光太郎氏と共同で，Zakalyukinの補題の一般化を行った．すなわち，2つの波面の像が一致するとき，ある一般的な条件の下で写像芽としての右同値が成り立つという主張を，波面の一般化であるフロンタル曲面に対して拡張した．応用として，燕の尾やカスプ状交叉帽子の幾何学的対称性に関する結果も得た．本研究の成果は論文として発表済みである．(2)また，2021年度よりの継続で，上記4人との共同研究として，交叉帽子の対称性に関する研究も遂行した．本研究では，3次元Eulclid空間内の交叉帽子特異点のまわりにおいてBruce-Westの標準形による局所座標について，ある種の一意性が成り立つことを示した．応用として，その標準形を用いて交叉帽子の幾何学的不変量を取り出すことができ，その不変量によって交叉帽子の幾何学的対称性を特徴付けることができるという成果も得た．本研究の成果も，論文として発表済みである．(3) 今後の展開として，離散可展面の特異点に関する研究についても継続中である．離散化された可展面で得られた成果を滑らかな可展面に応用する研究も遂行する計画である．

本研究的目的是阐明离散化具有奇点的表面所需的微分几何特性（光滑表面），并研究其离散对应物。 2022年，通过继续2021年的研究，我们获得了主要关于具有奇点的光滑曲面的结果。具体而言，详细如下。 (1) 作为 2021 年的延续，我们与 Atsushi Honda、Kentaro Saji、Masaaki Umehara 和 Kotaro Yamada 合作推广了 Zakalyukin 引理。换句话说，我们扩展了这样的论点：当两个波前的图像匹配时，右等价成立，因为在某些一般条件下将芽映射到正面，这是波前的推广。作为应用，我们还获得了燕尾和尖头十字帽几何对称性的结果。这项研究的结果已经作为论文发表。 (2) 另外，从2021年开始，我们与上述四人联合研究了交叉帽子的对称性。在这项研究中，我们证明了布鲁斯-韦斯特标准形式中围绕三维欧几里德空间中交叉帽奇点的局部坐标具有某种唯一性。作为应用，我们能够使用标准形式提取交叉帽的几何不变量，并且我们还得到了可以用该不变量来表征交叉帽的几何对称性的结果。这项研究的结果也已作为论文发表。 (3) 作为未来的发展，对离散可展曲面奇点的研究也在进行中。我们还计划进行研究，将离散可展曲面获得的结果应用于平滑可展曲面。

项目成果

Isometric realization of cross caps as formal power series and its applications

形式幂级数交叉帽的等距实现及其应用

• DOI: 10.14492/hokmj/1550480642
• 发表时间: 2019
• 期刊: Hokkaido Mathematical Journal
• 影响因子: 0.5
• 作者: HONDA Atsufumi;NAOKAWA Kosuke;UMEHARA Masaaki;YAMADA Kotaro
• 通讯作者: YAMADA Kotaro

A generalization of Zakalyukin's lemma, and symmetries of surface singularities

扎卡柳金引理的推广和表面奇点的对称性

• DOI: 10.5427/jsing.2022.25m
• 发表时间: 2022
• 期刊: Journal of Singularities
• 影响因子: 0.4
• 作者: Honda Atsufumi;Naokawa Kosuke;Saji Kentaro;Umehara Masaaki;Yamada Kotaro
• 通讯作者: Yamada Kotaro

ウィーン工科大学(オーストリア)

维也纳科技大学（奥地利）

折り紙の曲線折りについて

关于折纸曲线折叠

• 发表时间: 2021
• 作者: A. Honda;K. Naokawa;M. Umehara;K. Yamada;Kosuke Naokawa;直川耕祐
• 通讯作者: 直川耕祐

波面の等長変形と実現問題について

关于波前等距变形及实现问题

• 发表时间: 2017
• 作者: A. Honda;K. Naokawa;M. Umehara;K. Yamada;Kosuke Naokawa;直川耕祐;Kosuke Naokawa;Kosuke Naokawa;直川耕祐;直川耕祐;Kosuke Naokawa;Kosuke Naokawa;Kosuke Naokawa;K. Naokawa;直川耕祐
• 通讯作者: 直川耕祐