Applications of arithmetic theory of algebraic groups to computational number theory

代数群算术理论在计算数论中的应用

• 批准号: 16540014
• 负责人: KIDA Masanari
• 金额: $ 1.98万
• 依托单位: The University of Electro-Communications
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2004
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2004 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-16540014/
• 关键词: Kummer theory; algebraic number theory; computational number theory; トーラス; 素数判定法

In this research we investigate a generalization of Kummer theory to fields without roots of unity. Kummer theory is a basic tool in algebra and number theory and has many applications in these areas. Our generalization uses commutative algebraic groups called norm tori. Under certain natural conditions, we prove a Kummer duality induced from a self-isogeny of norm tori. This is a natural extension of the classical Kummer theory. It also describes the cyclic extensions over certain fields without roots of unity.As an application, we develop a method to compute cyclic polynomials arising from our Kummer theory and calculate some example of such polynomials using computer algebra system MAGMA. In the case of quintic cyclic polynomial, we can show a relationship between our Kummer polynomials and classical Lehmer polynomials. This enables us to give a complete description of the decomposition law in the cyclic quintic extensions.As our result is quite general in the nature, we can expect more applications in the area of algebra and number theory.

在这项研究中，我们研究了库默理论对没有统一根的领域的推广。库默理论是代数和数论的基本工具，在这些领域有许多应用。我们的推广使用称为范数环的交换代数群。在一定的自然条件下，我们证明了由范数环面的自同源引起的库默对偶性。这是经典库默理论的自然延伸。它还描述了某些没有单位根的域上的循环扩展。作为一种应用，我们开发了一种计算由 Kummer 理论产生的循环多项式的方法，并使用计算机代数系统 MAGMA 计算此类多项式的一些示例。对于五次循环多项式，我们可以显示库默多项式和经典莱默多项式之间的关系。这使我们能够对循环五次扩展中的分解定律给出完整的描述。由于我们的结果在本质上是相当普遍的，因此我们可以期待在代数和数论领域有更多的应用。

项目成果

最小ベクトルの係数の存在範囲に関する考察

关于最小向量系数存在范围的考虑

• 发表时间: 2005
• 期刊: 2005年暗号と情報セキュリティシンポジウム
• 作者: 金山直樹;木田雅成;太田和夫;國廣昇
• 通讯作者: 國廣昇

群と素数判定法

组和素性测试

• 发表时间: 2005
• 期刊: 仙台数論および組み合わせ論小研究集会2004報告集
• 作者: Naoki Terai;Ken-ichi Yoshida;木田 雅成
• 通讯作者: 木田 雅成

冪根を含まない体のクンマー理論について

论库默尔的无根域理论

• 期刊: 第5回北陸数論小研究集会報告集 (印刷中)
• 作者: Shiro Goto;Ken-ichi Yoshida;木田雅成
• 通讯作者: 木田雅成

Kummer theory for norm algebraic tori.

范数代数环面的 Kummer 理论。

• 发表时间: 2005
• 期刊: J.Algebra 293
• 作者: Kida;Masanari
• 通讯作者: Masanari

Cyclic polynomials arising from Kummer theory of norm algebraic tori

由范数代数环库默尔理论产生的循环多项式

• 发表时间: 2006
• 期刊: Lecture Notes in Computer Science 4076
• 作者: Fujita;Yasuhiro;et. al.;Kida Masanari
• 通讯作者: Kida Masanari