Mathematical analysis on solitary waves for nonlinear dispersive equations

非线性色散方程孤立波的数学分析

基本信息

批准号：
22K20337
负责人：
林雅行
金额：
$ 1.25万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-08-31 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は二重冪相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式(NLS)における定常解の不安定性の研究を中心に行った。定常解は空間遠方で代数的な減衰をし、指数減衰する通常の定在波と比べて性質が大きく異なり、解析も難しい。安定性／不安定性に関しては線形化作用素のスペクトルの観点から一般論にのせることができず、特に正の周波数をもつ定在波の場合と異なり、線形化作用素の強圧性がエネルギー空間の枠組みで成り立たないことが主要な難しさとなる。本研究ではまず、周波数でパラメータ付けされた定在波の族に対して、零周波数における片側導函数をODE的手法で構成し、その遠方における最適な減衰度／増大度を導出した。次にこの片側導函数を用いて、定在波の不安定性の一般論と整合する不安定方向を構成し、変分的特徴付けとリャプノフ汎函数の議論を経由して定常解の不安定性を証明した。エネルギー空間に属さない片側導函数を適切に局所化し、線形化作用素の強圧性の代わりに定常解の変分的特徴付けを応用することが解析の重要なポイントである。1次元の場合は最適と期待される条件のもとで定常解の不安定性を証明することに成功した。解析の全体的な流れは多次元にも適用できるが、いくつか技術的な問題点が現れ、その一部は今後の課題として残されている。また不安定性理論における片側導函数の構成は臨界減衰をもつポテンシャル付き線形シュレディンガー作用素の理論と密接な関連性があることが分かった。上記以外の成果としては、昨年度から研究していたNLSの連立系における進行波の研究結果を論文に纏め、Math. Ann.に掲載受理された。進行波の変分問題において、エネルギー臨界の問題が現れること、プロファイルの楕円型方程式から非局所的な問題が現れることなど、いくつか興味深い観点を新たに発見した。

今年，我们重点研究双幂相互作用的非线性薛定谔方程（NLS）稳态解的不稳定性。平稳解在空间距离上会经历代数衰减，并且与呈指数衰减的正常驻波相比具有非常不同的特性，因此难以分析。关于稳定性/不稳定性，不能从线性化算子的频谱角度进行概括，特别是与正频率驻波的情况不同，线性化算子的矫顽力仅限于能量空间的框架。主要困难在于它不成立。在本研究中，我们首先使用常微分方程（ODE）方法对由频率参数化的一族驻波构造了零频率下的单侧导数，并导出了远距离衰减/增加的最佳程度。接下来，利用这一单边导数，我们构造了一个与驻波不稳定性一般理论一致的不稳定性方向，并通过变分表征和李亚普诺夫泛函的讨论来解释稳态解的不稳定性。分析的要点是正确定位不属于能量空间的单侧导数，并应用平稳解的变分表征而不是线性化算子的矫顽性。在一维情况下，我们成功地证明了在预期最优的条件下稳定解的不稳定性。尽管分析的整体流程可以应用于多个维度，但出现了一些技术问题，其中一些问题仍有待未来的工作。研究还发现，不稳定理论中单边导数的构造与具有临界阻尼势的线性薛定谔算子理论密切相关。除了上面提到的结果之外，我还把去年以来一直在研究的耦合NLS系统中行波的研究成果总结成一篇论文，并在《Math.》上接受发表。我们发现了几个新的有趣的观点，包括行波变分问题中能量关键问题的出现，以及椭圆剖面方程中非局部问题的出现。