Mathematical analysis on solitary waves for nonlinear dispersive equations

非线性色散方程孤立波的数学分析

基本信息

批准号：
22K20337
负责人：
林雅行
金额：
$ 1.25万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-08-31 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22K20337/
关键词：
非線形分散型方程式非線形シュレディンガー方程式定常解孤立波不安定性変分法進行波解代数ソリトン安定性

非線形分散型方程式非線形シュレディンガー方程式定常解孤立波不安定性変分法進行波解代数ソリトン安定性

项目摘要

本年度は二重冪相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式(NLS)における定常解の不安定性の研究を中心に行った。定常解は空間遠方で代数的な減衰をし、指数減衰する通常の定在波と比べて性質が大きく異なり、解析も難しい。安定性／不安定性に関しては線形化作用素のスペクトルの観点から一般論にのせることができず、特に正の周波数をもつ定在波の場合と異なり、線形化作用素の強圧性がエネルギー空間の枠組みで成り立たないことが主要な難しさとなる。本研究ではまず、周波数でパラメータ付けされた定在波の族に対して、零周波数における片側導函数をODE的手法で構成し、その遠方における最適な減衰度／増大度を導出した。次にこの片側導函数を用いて、定在波の不安定性の一般論と整合する不安定方向を構成し、変分的特徴付けとリャプノフ汎函数の議論を経由して定常解の不安定性を証明した。エネルギー空間に属さない片側導函数を適切に局所化し、線形化作用素の強圧性の代わりに定常解の変分的特徴付けを応用することが解析の重要なポイントである。1次元の場合は最適と期待される条件のもとで定常解の不安定性を証明することに成功した。解析の全体的な流れは多次元にも適用できるが、いくつか技術的な問題点が現れ、その一部は今後の課題として残されている。また不安定性理論における片側導函数の構成は臨界減衰をもつポテンシャル付き線形シュレディンガー作用素の理論と密接な関連性があることが分かった。上記以外の成果としては、昨年度から研究していたNLSの連立系における進行波の研究結果を論文に纏め、Math. Ann.に掲載受理された。進行波の変分問題において、エネルギー臨界の問題が現れること、プロファイルの楕円型方程式から非局所的な問題が現れることなど、いくつか興味深い観点を新たに発見した。

今年，我们专注于研究具有双层相互作用的非线性Schrödinger方程（NLS）中稳态溶液的不稳定性。稳态溶液在距离空间的距离内具有代数衰减，它们的性质与正常的静电波呈指数衰减，使其难以分析。稳定性/不稳定不能从线性化运算符的光谱的角度放置在一般术语中，主要困难是，在能量空间的框架内，线性化运算符的压力特性不存在，这在尤其是具有正频率的站立波的情况下。在这项研究中，对于通过频率参数参数参数的一系列一家，使用ODE方法构建了零频率的单侧推导，并得出了距离时的最佳衰减/增加。然后使用该单方面衍生物来构建与常规不稳定性的一般理论一致的不稳定性方向，并通过变异表征和讨论Lyapunov一般函数证明了稳态解决方案的不稳定性。一个重要的分析点是正确定位不属于能量空间的单方面导体，并应用稳态溶液的变异表征，而不是线性化操作员的压力性能。在一维的情况下，我们成功地证明了在预期最佳条件下稳态解决方案的不稳定。分析的总体流动可以应用于多个维度，但是出现了一些技术问题，其中一些问题仍然是未来的挑战。还发现，不稳定性理论中单侧衍生物的构建与具有临界衰变潜力的线性施罗宾格运算符的理论密切相关。除上述结果以外的其他结果是我们自去年以来一直在研究的NLS联盟体系中流动波的研究结果，并在数学上发表。安。我们已经发现了几种新的有趣的观点，例如流行波的变分问题中能量关键问题的出现，以及从元素方程式出现了非局部问题。