Homogenization in Anomalous Diffusion Phenomena and its Applications to Inverse Problems

反常扩散现象的均匀化及其在反问题中的应用

• 批准号: 21K20333
• 负责人: 川本 敦史
• 金额: $ 2万
• 依托单位: Takushoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-08-30 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K20333/
• 关键词: 逆問題; 数理モデル; 異常拡散現象; 非整数階拡散方程式; 均質化法

2022年度は，異常拡散現象を記述する時間非整数階拡散方程式に対して均質化法とその逆問題への応用について研究を行った．2021年度の段階で，時間非整数階拡散方程式の均質化法の研究はおおむね完了している．そこで，本年度は主として昨年度得られた均質化法の逆問題への応用を研究した．具体的には次の2つの逆問題を考えた：(1)周期的な構造における観測データから均質化された構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．(2)均質化された構造における観測データから周期的な構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．この2つの逆問題を解決するために，時間非整数階拡散方程式の拡散係数が定数である場合に，その定数拡散係数を観測データから決定する逆問題の研究を行った．均質化法により導出される時間非整数階拡散方程式の拡散係数は定数になるため，この定数拡散係数決定逆問題の解決が上の2つの逆問題(1)と(2)を解くためのカギとなる．このような逆問題については先行研究が少なく，数学的にも独特な困難さがある．そこで，この定数拡散係数決定逆問題について本年度から共同研究を行い，逆問題における一意性と安定性の結果を得た．そして，特別な仮定を課した場合ではあるものの，定数拡散係数決定逆問題の結果と均質化法の結果を統合することで，上の2つの逆問題(1)と(2)における一意性と安定性を導出することができた．今後の研究計画としては，まず，学術論文誌への論文掲載を目指す．また，研究成果について研究集会や学会などで口頭発表を行いたい．次に，研究の展開として，時間非整数階偏微分方程式に対する均質化法の周辺の話題に取り組みたいと考えている．

2022年，我们对描述反常扩散现象的时间分数扩散方程的均质化方法及其在反问题中的应用进行了研究。截至2021年，时间分数阶扩散方程均质化方法的研究已基本完成。因此，今年我们主要研究去年得到的均质化方法应用到反问题上。具体来说，我们考虑了以下两个反问题：（1）根据周期性结构中的观测数据确定均匀结构中时间分数扩散方程的扩散系数的反问题。 (2)根据均匀结构中的观测数据确定周期性结构中时间分数扩散方程的扩散系数的反问题。为了解决这两个反问题，我们对根据观测数据确定时间分数扩散方程的常数扩散系数的反问题进行了研究。由于均质化法导出的时间分数扩散方程的扩散系数是常数，因此求解该常数扩散系数确定反问题就成为解决上述两个反问题（1）和（2）的关键。先前对此类反问题的研究很少，而且它们在数学上特别困难。因此，今年我们对确定常数扩散系数的反问题进行了联合研究，得到了反问题唯一性和稳定性的结果。虽然是施加特殊假设的情况，但通过将恒定扩散系数确定反问题的结果与均质化方法的结果相结合，我们可以解决上述两个反问题（1）和（2）中的唯一性问题我们能够获得稳定性。对于未来的研究计划，我们首先会在学术期刊上发表论文。我还想在研究会议或学术会议上口头介绍我的研究成果。接下来，作为我研究的发展，我想讨论有关时间分数偏微分方程均质化方法的主题。