無限次元確率解析と微分幾何学

无限维随机分析和微分几何

基本信息

批准号：
07640317
负责人：
杉田洋
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1995
资助国家：
日本
起止时间：
1995 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

無限次元正則関数について本研究の代表者は以下のような知見を得たので報告する。無限次元正則関数の定義は使用目的によって様々なものが考えられるが、我々が採用した定義は確率解析に根ざしているShigekawaの定義である。これは複素Wiener空間上の加測関数(Wiener汎関数という)のうち正則な多項式関数(これは実質的に有限次元の正則関数である)のL_p-極限として得られるものである。さて、正則多項式自体は連続関数であるが極限として得られる正則Wiener汎関数は一般に連続ではない。しかし、正則性という強力な構造によって次のような無限次元Brown運動に対する細連続性を持つ。:正則Wiener汎関数は確率0の修正をすれば複素Wiener空間上の原点から出発する無限次元Brown運動の軌道に沿って時間1までは確率1で連続である。(H. Sugita, J. Math. Kyoto Univ., 34-4(1994)849-857.)この結果を踏まえて時間1以降の無限次元Brown運動と正則Wiener汎関数の関連を調べた。新しい知見は次の通り。:正則Wiener汎関数の上に述べた修正は「正則除外集合」という零集合上で行われ、無限次元Brown運動は時刻1までは確率1でそれに到達しない。しかし、時刻1を越えると到達する事があり得ることが分かった。このことは正則Wiener汎関数によっては時刻1を越える無限次元Brown運動の軌道に関して連続になり得ないことを示している。このようなことは有限次元では決して起こらないことで無限次元の特徴を示している。以上のような知見も含め最近の正則Wiener汎関数に関する研究について総合報告を作成した。それはProceedings of Taniguchi Symposium '94に掲載予定である。

本研究的代表将报告以下有关无限维正则函数的发现。根据使用目的，无限维全纯函数有多种定义，但我们采用的是茂川的定义，它植根于概率分析。这是作为复维纳空间上的加法函数（称为维纳泛函）中的正则多项式函数（本质上是有限维正则函数）的 L_p 极限而获得的。现在，全纯多项式本身是连续函数，但作为极限得到的全纯维纳泛函一般是不连续的。然而，由于其较强的正则性结构，对于无限维布朗运动具有以下子连续性。：如果将全纯维纳泛函修改为概率为 0，则它在复维纳空间中从原点开始沿着无限维布朗运动的轨迹以概率 1 连续到时间 1。 (H. Sugita, J. Math.京都大学, 34-4 (1994) 849-857.) 基于这一结果，我们研究了时间 1 后的无限维布朗运动与全纯维纳泛函之间的关系。新发现如下。：上述全纯维纳泛函的修改是在称为“正则排除集”的零集上进行的，无限维布朗运动直到时间 1 时才以概率 1 到达它。然而事实证明，在时间 1 之后是有可能到达的。这表明超过时间 1 的无限维布朗运动的轨迹不能与全纯维纳泛函连续。这种事情在有限维度中永远不会发生，这是无限维度的特性。我们创建了一份关于全纯维纳泛函最新研究的综合报告，包括上述发现。它将发表在《94 年谷口研讨会论文集》上。