Self-similar fractal 上の拡散過程の研究

自相似分形扩散过程研究

• 批准号: 07640282
• 负责人: 長田 博文
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07640282/
• 关键词: フラクタル; 拡散過程; ブラウン運動; ディリクレ形式

1.infinitely ramified fractal上のBrownian motion構成:無限個の障害物が散らばる領域において、反射壁ブラウン運動の転移確率についての上下からの大局的な評価を行った。これの応用として、Sierpinski carpets上の対称かつ非退化な自己相似拡散過程の族を構成した。更にこれらは局所平行移動不変であり、fractalの図形的不変性に応じた不変性を兼ね備えている。ただ、これらの拡散過程は不変測度がfractal measureと違うためBrownian motionと呼ぶのはふさわしくないが、従来とは全く違った明晰なやり方で拡散過程を構成した点が面白いと思う。我々の方法はDirichlet form理論を使うもので、従来はfinitely ramified fractalにしか有効でないと思われていたこの理論がfractalの中の障害物の部分の境界がなめらかな多様体になっている事に注目しその上で普通の微分からできるDirichlet formを考えfractal全体で動く拡散過程を構成するというのがアイデアである。この拡散過程が非退化を言うのに上記の反射壁ブラウン運動の転移確率の評価を用いている。将来この拡散過程の族の極限としてBrownian motionを作る事を期待している。2.nested fractal上のBrownian motionの一意性の証明:finitely ramified cell fractalと言うかなり広いfractalのクラスで非退化な自己相似拡散過程が存在するための必要十分条件を求めた。つまりhitting probabilityの方程式という物を考えその解を与えるごとに一つ非退化な自己相似拡散過程が一意に存在する事を示した。最近Sabotがnested fractal上のBrownian motionに関するhitting probabilityの方程式の解の一意性を証明したが、これと我々の結果を合わせるとBrownian motionの一意性がついに示された事になる。

1。在无限分析的分形上进行的布朗运动构型：对反射壁转移的概率进行了广泛指定的评估，在散布着无限障碍物的区域中，布朗尼运动的转移概率。这样的应用是在Sierpinski地毯上形成一个对称和非脱位的自相似扩散过程。此外，这些是局部翻译不变的，并且具有与分形图形不变性相对应的不变性。但是，尽管将这些扩散过程称为布朗尼的运动是不合适的，因为它们不变的措施与分形测量不同，但我认为有趣的是，它们以完全不同和清晰的方式构成扩散过程。我们的方法使用了迪里奇形式理论，其想法是关注以下事实：以前认为仅在最终被触及的分形中有效的理论是，分形中的障碍物之间的界限是一种平滑的歧管，然后考虑可以将其解释为正常差异和构建跨胎盘的扩散过程的差异形式。这种扩散过程是指对反射壁布朗尼运动转移概率的上述评估进行非分类。我希望将来，布朗动议将被作为这个扩散家族的极限。 2。布朗运动在嵌套分形上的独特性证明：我们已经确定了在相当广泛的分形类中存在非分类的自相似扩散过程的必要条件，称为最终分支分类细胞分形。换句话说，只要我们考虑击中概率并提供解决方案时，就会表明存在独特的，非分类的自相似扩散过程。最近，Sabot证明了解决方程式在嵌套分形上击中布朗运动概率方程的独特性，并将其与我们的结果结合在一起表明，最终显示了布朗运动的独特性。

项目成果

長田博文: "Long time estimates for transition probabilities of reflecting barrier Brownian motions," Proceeding of 7'th Japan-Russian symposium on “Probability theory and Mathematical Statistics". (予定).

Hirofumi Nagata：“反映势垒布朗运动的转变概率的长期估计”，第七届日俄“概率论与数理统计”研讨会论文集（计划）。

楠岡成雄: "Limit fheorem onoption replication with transaction cost" Annals of Applied Probability. 5. 198-221 (1995)

Shigeo Kusuoka：“用交易成本限制期权复制”，《应用概率年鉴》5. 198-221 (1995)。

長田博文: "Dirichlet form approach to infinite-dimensional Wiener processes with singular interactions" Commun.Math.Phys.(予定).

Hirofumi Nagata：“具有奇异相互作用的无限维维纳过程的狄利克雷形式方法”Commun.Math.Phys（计划）。

長田博文: "Self-similar diffusions on a class of infinitely ramified fractals," J.Math.Soc.Japan,. 47-4. 591-616 (1995)

Hirofumi Nagata：“一类无限分形的自相似​​扩散”，J.Math.Soc.Japan，47-4（1995）。

長田博文: "An Invariance Principle for Additive Functionals of Non-svmmetric Markov processes and Homogenization of Reflecting Barrier Brownian Motions" Probab.Theory Relat.Fields. 101. 45-63 (1995)

Hirofumi Nagata：“非对称马尔可夫过程的加性泛函的不变原理和反射势垒布朗运动的均匀化” Probab.Theory Relat.Fields 101. 45-63 (1995)