Self-similar fractal 上の拡散過程の研究

自相似分形扩散过程研究

• 批准号: 07640282
• 负责人: 長田 博文
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07640282/
• 关键词: フラクタル; 拡散過程; ブラウン運動; ディリクレ形式

1.infinitely ramified fractal上のBrownian motion構成:無限個の障害物が散らばる領域において、反射壁ブラウン運動の転移確率についての上下からの大局的な評価を行った。これの応用として、Sierpinski carpets上の対称かつ非退化な自己相似拡散過程の族を構成した。更にこれらは局所平行移動不変であり、fractalの図形的不変性に応じた不変性を兼ね備えている。ただ、これらの拡散過程は不変測度がfractal measureと違うためBrownian motionと呼ぶのはふさわしくないが、従来とは全く違った明晰なやり方で拡散過程を構成した点が面白いと思う。我々の方法はDirichlet form理論を使うもので、従来はfinitely ramified fractalにしか有効でないと思われていたこの理論がfractalの中の障害物の部分の境界がなめらかな多様体になっている事に注目しその上で普通の微分からできるDirichlet formを考えfractal全体で動く拡散過程を構成するというのがアイデアである。この拡散過程が非退化を言うのに上記の反射壁ブラウン運動の転移確率の評価を用いている。将来この拡散過程の族の極限としてBrownian motionを作る事を期待している。2.nested fractal上のBrownian motionの一意性の証明:finitely ramified cell fractalと言うかなり広いfractalのクラスで非退化な自己相似拡散過程が存在するための必要十分条件を求めた。つまりhitting probabilityの方程式という物を考えその解を与えるごとに一つ非退化な自己相似拡散過程が一意に存在する事を示した。最近Sabotがnested fractal上のBrownian motionに関するhitting probabilityの方程式の解の一意性を証明したが、これと我々の結果を合わせるとBrownian motionの一意性がついに示された事になる。

1.无限分支分形上的布朗运动配置：在散布无限数量障碍物的区域中，我们对反射壁布朗运动从上方和下方的转移概率进行了全局评估。作为其应用，我们在谢尔宾斯基地毯上构建了一系列对称且非简并的自相似扩散过程。此外，它们是局部平移不变的，并且具有与分形的几何不变性相对应的不变性。然而，由于这些扩散过程的不变测度与分形测度不同，因此将它们称为布朗运动并不合适，但我认为有趣的是，扩散过程的结构清晰，与传统的完全不同。方法。我们的方法使用狄利克雷形式理论，这个理论以前被认为只对无限分形有效，现在被证明是分形中障碍物处具有平滑边界的流形。我们的想法是集中于此，然后考虑可以从普通微分创建的狄利克雷形式，并构造一个在整个分形中移动的扩散过程。为了说这个扩散过程是非退化的，我们使用上面对反射壁布朗运动的转移概率的评估。将来，我们希望创建布朗运动作为这一系列扩散过程的极限。 2. 嵌套分形上布朗运动唯一性的证明：我们发现在一类相当广泛的分形（称为有限分支细胞分形）中存在非简并自相似扩散过程的充分必要条件。换句话说，我们已经证明，对于命中概率方程的每个解，都存在唯一的非简并自相似扩散过程。最近，Sabot证明了嵌套分形上布朗运动命中概率方程解的唯一性，当这与我们的结果结合时，我们最终证明了布朗运动的唯一性。

项目成果

長田博文: "Long time estimates for transition probabilities of reflecting barrier Brownian motions," Proceeding of 7'th Japan-Russian symposium on “Probability theory and Mathematical Statistics". (予定).

Hirofumi Nagata：“反映势垒布朗运动的转变概率的长期估计”，第七届日俄“概率论与数理统计”研讨会论文集（计划）。

楠岡成雄: "Limit fheorem onoption replication with transaction cost" Annals of Applied Probability. 5. 198-221 (1995)

Shigeo Kusuoka：“用交易成本限制期权复制”，《应用概率年鉴》5. 198-221 (1995)。

長田博文: "Self-similar diffusions on a class of infinitely ramified fractals," J.Math.Soc.Japan,. 47-4. 591-616 (1995)

Hirofumi Nagata：“一类无限分形的自相似​​扩散”，J.Math.Soc.Japan，47-4（1995）。

長田博文: "Dirichlet form approach to infinite-dimensional Wiener processes with singular interactions" Commun.Math.Phys.(予定).

Hirofumi Nagata：“具有奇异相互作用的无限维维纳过程的狄利克雷形式方法”Commun.Math.Phys（计划）。

楠岡成雄(池田信行): "Short time asymptotics for fundamental solutions of heat ezuations" Proc.Taniguchi Conf. (予定).

Shigeo Kusuoka（Nobuyuki Ikeda）：“热方程基本解的短时渐近”Proc.Taniguchi Conf（计划）。