Spectral flowの研究

谱流研究

基本信息

批准号：
07640254
负责人：
古谷賢朗
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Tokyo University of Science
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1995
资助国家：
日本
起止时间：
1995 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07640254/
关键词：
Spectral flow Maslov index Cauchy data Fredholm 作用素 Dirac operator elliptic operator index theorem η(eta)-invariant

项目摘要

J. PhillipsのSpectral flowの定義は、それがloopのみならず端点を固定したpathのhomotopy不変量であることを明らかにした。このideaに基づいて、maslov indexもloopのみならずpathのhomotopy不変量であることを、関数解析的な方法によって明らかにし、さらに最近のRobbin-Salamonの定義との関係も明らかにすることが出来た。これらに基づいて、一般のSpectral flow公式を証明した。すなわち、まず非有界自己共役Fredholm作用素のある意味での連続Familyを、有界なそれらの連続Familyにスペクトル達の符号を変えないで変換し、前者のSpectral flowを後者のそれと定義することが出来た。その後、一般Cauchy data spaceがabstract boundary value space(それは自然にsymplectic Hi lbert spaceになる)の中のLagrangian suhspaceの連続Familyになり、そのmaslov indexとSpectral flowが一致することを示した。これは奇数次元閉多様体上の自己共役Dirac作用素のFamliy(接続を変化させることによって得る)のSpectral flow公式の一般化であるが、具体的応用のためには有限次元のsymplectic vector spaceへの簡約を行う必要があり、そのmechanismの研究が来年度の研究テーマである。すなわち境界多様体上のL_2-spaceとabstract boundary value spaceの関係を明らかにし、作用素がさらにどの様な形(又はどの様な条件)を溝していればCauchy data spaceが有限次元への簡約を可能にするかを明らかにしたい。

J. Phillips 对谱流的定义表明，它不仅是环的同应不变量，也是具有固定端点的路径的同应不变量。基于这个想法，我们通过泛函分析阐明了 maslov 指数不仅对于循环而且对于路径都是同形不变量，并且还阐明了它与最近的 Robbin-Salamon Ta 定义的关系。在此基础上，我们证明了谱流的一般公式。也就是说，我们可以首先将无界自伴 Fredholm 算子的连续族转换为它们的有界连续族，而不改变谱的符号，并将前者的谱流定义为后者的谱流。之后，我们证明了一般柯西数据空间成为抽象边值空间（自然成为辛希尔伯特空间）中的拉格朗日suh空间的连续族，并且其马斯洛夫指数和谱流一致。这是奇维闭流形上自伴狄拉克算子的 Famliy 谱流公式（通过改变连通性获得）的推广，但对于具体应用，有必要将其应用于有限维辛向量空间。需要进行简化，而机制研究将是明年的研究主题。换句话说，我们阐明了边界流形上的L_2-空间和抽象边界值空间之间的关系，并且如果算子具有任何形状（或条件），则柯西数据空间可以减少到我想找到的有限维。如果可能的话。