環の構造と表現

环的结构和表示

基本信息

批准号：
04640071
负责人：
平野康之
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Okayama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1992
资助国家：
日本
起止时间：
1992 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-04640071/
关键词：
正則環多項式関係平坦イデアル単純加群剰余有限環環拡大

项目摘要

1.任意の0でない(右)イデアルによる剰余加群が有限であるような環を(右)剰余有限環という。右剰余有限環は右全有界なネーター環であることを示し,また特徴付けを与えた。それを用いて、多項式関係を持つ無限環が右剰余有限環であることはそれが剰余有限非零因子環であることに他ならないことを示した。また剰余有限環の環拡大について考察し,剰余有限環多くの例を得た。特に右ネーター素環Rの有限正規化拡大になっている素環Sを考えたとき、Rが剰余有限環であることとSがそうであることが同値になることを示した。また、剰余有限環の0でないイデアルに対して、ノルムを定義し、任意の自然数nに対して、ノルムがn以下であるイデアルは有限個しかないことを示した。結論として、剰余有限環のイデアルは可算集合をなすことを示した。2.任意の0でないイデアルによる剰余環が0以外に零因子を持たないような環の特徴付けを与え、その加法群の構造を決定した。また任意の自然数nに対して、このような環で真のイデアルの個数が丁度nであるような環の例を与えた。3.フォン・ノイマンの意味の正則環は、任意の加群が平坦であるような環として特徴付けられる。そこで、任意の右単純加群が平坦であるような環は正則環になるか、という問題が考えられる。任意の左原始剰余環がアルチン的であるような環に対しては、この事が正しいことを示した。従って、多項式関係を持つような環に対しては、この事が正しいことになる。更に、この結果を一般化して、任意の非正則左単純加群の零化イデアルによる剰余環がアルチン的である場合にも、上の事が正しいことを示した。この問題を一般化すると、環の弱大域次元とその単純加群の平坦次元の上限が一致するかどうかを問うことになるが、これに対しては反例を与えた。

1.任何非零（右）理想的余数模有限的环称为（右）余数有限环。我们证明右余有限环是右全有界诺特环并给出其表征。利用这个，我证明了具有多项式关系的无限环是右余有限环这一事实意味着它是有限余非零除数环。我们还考虑了有限余数环的环扩展，并获得了许多有限余数环的例子。特别是，当我们考虑一个初等代数 S 是右诺特初等代数 R 的有限归一化扩展时，我们证明 R 是有限余数代数，并且 S 与 S 相同。我们还定义了有限余数环的非零理想的范数，并表明对于任何自然数 n，只有有限个范数小于或等于 n 的理想。总之，我们证明了有限余数环的理想形成了一个可数集。 2.我们刻画了任意非零理想的陪集环，使得它除了0之外没有零因子，并确定了其加性群的结构。此外，对于任何自然数 n，我们给出了这样一个环的示例，使得真实理想的数量恰好为 n。 3. 冯·诺依曼意义上的规则环的特征是任何模块都是平坦的。因此，要考虑的问题是任意右简模为平的环是否是正则环。我们证明，对于任何左本原残基环都是阿天环的环来说，这是正确的。因此，对于具有多项式关系的环来说也是如此。此外，通过推广这个结果，我们证明即使任何不规则左简模的归零理想的陪集环是 Artinian 时，上述情况也是正确的。概括这个问题，我们问环的弱全局维数是否与其简单模的平面维数上限一致，但我们给出了这个问题的反例。