対称臨界性原理とその非線形偏微分方程式への応用

对称临界原理及其在非线性偏微分方程中的应用

• 批准号: 15654024
• 负责人: 大谷 光春
• 金额: $ 2.3万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-15654024/
• 关键词: Symmetric Criticality; Subdifferential Operators; Evolution Equations; Symmetry; Critical Point; subdifferential Operators

対称臨界性原理とは、「Banach空間X上で定義された汎関数Jに対し、ある群Gの作用に関して不変な部分空間X_G上でのJの臨界点が、X全体でのJの臨界点を与える」という原理である。この原理は、Jの汎関数(フレッシェ)微分を、劣微分作用素を含むかなり一般的な多価作用素Aに置き換えても成立することが、本研究により示されている。さらに、作用素Aが、必ずしも変分構造を有していない場合に対して拡張することが可能(AがG-共変であれば十分)であり、時間発展を伴う発展方程式に対して有用であろうことが期待されていた。(1)非線形放物型方程式、波動方程式、シュレンディンガー方程式等への応用考えるとき、時間に関する微分作用素d/dtがどのような空間でG-共変となるかを調べることは重要であるが、今回L2(0,T;X),X=L2(Ω),L2(Ω)xL2(Ω),H10(Ω)xL2(Ω),などでそのG-共変性(G=O(N))が確かめられた。これらの空間は、上記の諸方程式を抽象発展方程式に帰着させるときに現れる基本的な空間であり、これは、今後の発展方程式への応用研究において重要な知見である。(2)放物型方程式の時間大域解の漸近挙動を解析する際、コンパクト性は強力なな道具を提供する。一般の非有界領域では欠如しているソボレフの埋蔵定理にかかわるコンパクト性が、回転対称性を有する関数からなる部分空間においては、恢復するという事実に基づき、ある種の回転対称性を有する非有界領域におけp-Laplace作用素と爆発項を含む非線形放物型方程式の対称大域解のW1,p-有界性が確かめられた。

对称临界性的原理是“对于​​在 Banach 空间上定义的函数 J”，这就是“给予适量的钱”的原理。这项研究表明，即使 J 的泛函（Fréchet）导数被包含次微分算子的相当通用的多值算子 A 取代，这一原理仍然成立。此外，它可以扩展到算子 A 不一定具有变分结构的情况（如果 A 是 G 协变就足够了），并且对于涉及时间演化的演化方程很有用。 (1) 当考虑应用于非线性抛物线方程、波动方程、薛定谔方程等时，研究微分算子 d/dt 相对于时间在什么空间中变为 G 协变是有用的。很重要，但这次我们将考虑确认 G 协方差（G=O(N)）。这些空间是上述方程简化为抽象演化方程时出现的基本空间，这是未来演化方程应用研究的重要发现。 (2) 紧致性在分析抛物型方程的时间全局解的渐近行为时提供了强大的工具。基于在由旋转对称函数组成的子空间中恢复了一般无界域中所缺乏的与索博列夫埋藏定理相关的紧性，确认了 p-拉普拉斯算子和有界域中的爆炸项。

项目成果

G.Akagi, Jun Kobayashi, M.Otani: "Principle of symmetric criticality and evolution equations"Dynamical Systems and Differential Equations edited by W.Fei, S.Hu & X.Lin, American Institute of Mathematical Sciences. 1-10 (2003)

G.Akagi、Jun Kobayashi、M.Otani：“对称临界性原理和演化方程”动力系统和微分方程由W.Fei、S.Hu主编

G.Akagi, M.Otani: "Evolution equations and subdifferentials in Banach spaces"Dynamical Systems and Differential Equations edited by W.Fei, S.Hu & X.Lin, American Institute of Mathematical Sciences. 11-20 (2003)

G.Akagi、M.Otani：“Banach 空间中的演化方程和次微分”Dynamic Systems and Differential Equations 编辑：W.Fei、S.Hu

On nonstationary flows of magneto-micropolar fluid

磁微极性流体的非平稳流动

• 发表时间: 2004
• 期刊: Nonlinear Partial Differential Equations and Their Applications, GAKUTO International Series 20
• 作者: M.Inaba;K.Iwasaki;M-H Saito;津留崎 和義 他;Kei MATSUURA
• 通讯作者: Kei MATSUURA

L∞-energy method and its applications to some nonlinear parabolic systems

L∞-能量方法及其在某些非线性抛物线系统中的应用

• 发表时间: 2005
• 期刊: Gakuto International Series, Mathematical Sciences and Applications 22
• 作者: T.IDE;K.KURATA;Kazunaga TANAKA;Seiichi Iwamoto et al.;Mitsuharu OTANI
• 通讯作者: Mitsuharu OTANI

Multi-clustered high energy solutions for a phase transition problem

相变问题的多簇高能解

• 发表时间: 2005
• 期刊: Proc.Roy.Soc.Edinburgh 135A
• 作者: Kazunaga Tanaka;P.Felmer;S.Martinez
• 通讯作者: S.Martinez