種々の関数空間における因数分解の研究

各种函数空间中因式分解的研究

基本信息

批准号：
13874027
负责人：
宮地晶彦
金额：
$ 0.51万
依托单位：
Tokyo Woman's Christian University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

因数分解の問題ではっきりした解答が得られたものはなかったが、問題解決への途中の結果と考えられるいくつかの知見を得ることができた。Hardy空間の強い形の因数分解の問題については、内山明人によるある種のマルチンゲールに関する因数分解定理の証明を再検討した結果、同様の論法を通常の特異積分の場合へ一般化するには、扱う領域が有限領域で有限測度を持つと具合がよいことがわかった。そこで、特異積分作用素と実関数論的なHardy空間とをユークリッド空間の有界領域上で考えてみた。領域上のHardy空間と特異積分作用素に関しては既に、Chang-Krantz-Stein(1993)、Chang-Dafni-Stein(1999)による研究があったが、彼等とは違う設定のHardy空間において特異積分作用素が有効に扱えることがわかった。我々の設定では領域上にdoubling conditionをみたす測度が与えられているとし、領域上のdistributionに対して最大関数を定義し、その最大関数が与えられた測度に関してp乗可積分であるようなdistributionの全体をもって、Hardy空間と定義する。このHardy空間に対して、アトム分解、関数の掛け算、領域の微分同相写像による変数変換、等の基本的な性質を確立した。さらに、領域が1次元の開区間である場合に、古典的なJacobi級数に対するMuckenhouptらによる移植定理を、我々のHardy空間を用いて一般化することができた。我々の移植定理の本質は,ある特異積分作用素のHardy空間での有界性の主張である。有界領域上のHardy空間で移植定理を示すことができたことは、因数分解の問題の解決へのひとつのステップと考えている。合成積に関する因数分解の問題について、Huntによる合成積の評価の研究を検討した結果、L^pだけで考えるのは不自然で、Lorentz空間L^<(p, q)>を扱うのが自然であることがわかった。

尽管对于任何因式分解问题都没有获得明确的答案，但我们获得了一些可以视为解决问题的结果的发现。关于Hardy空间的强形式因式分解问题，我们重新审视了Akito Uchiyama对某种鞅的因式分解定理的证明，发现可以将类似的论证推广到普通奇异积分的情况。如果要处理的区域是有限区域并且具有有限尺寸，则比较方便。因此，我考虑了欧几里德空间有界区域上的奇异积分算子和实函数论Hardy空间。 Chang-Krantz-Stein (1993) 和 Chang-Dafni-Stein (1999) 已经对 Hardy 空间和域上的奇异积分算子进行了研究，但是在与他们的设置不同的 Hardy 空间中，奇异积分算子变成了表明可以有效处理。在我们的设置中，我们假设在该区域上给出满足加倍条件的测度，我们为该区域上的分布定义一个最大函数，并且我们定义一个分布，使得最大函数是 p 次方可积的的整体被定义为哈代空间。对于这个 Hardy 空间，我们建立了原子分解、函数乘法以及通过区域微分同胚进行变量变换等基本性质。此外，当域是一维开区间时，我们能够使用 Hardy 空间推广 Muckenhoupt 等人的经典 Jacobi 级数的移植定理。我们的移植定理的本质是断言 Hardy 空间中某个奇异积分算子的有界性。我们相信我们能够在有界域上的 Hardy 空间中证明移植定理，这是解决因式分解问题的一步。关于复合产品相关的因式分解问题，考虑到Hunt对复合产品评估的研究，我们发现仅用L^p来思考是不自然的，而处理洛伦兹空间L^<( p, q)> 事实证明。