多次元空間における表面張力波に対する初期値問題の適切性について

多维空间表面张力波初值问题的适当性

• 批准号: 12740110
• 负责人: 井口 達雄
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 2000
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2000 至 2001
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-12740110/
• 关键词: 水面波; 水の波; 時間減衰評価; L^P-L^∞評価

まずWuの結果を一般のn次元空間の場合に拡張した。すなわち、表面張力が無くかつ深さが無限の場合、空間次元が4次元以上であっても、その初期値問題は適切であることを証明した。ポイントは準線形方程式系へのreductionであり、その際2、3次元空間の時と同様なcancellationが起きており、それによってその適切性が保証された。この結果は時間局所的なものであるが、方程式の分散性からして空間次元が高くなると時間大域解の存在が大いに期待される。そこで次に、方程式を零解の周りで線形化した線形化方程式の時間減衰評価を行い次の結果を得た。空間次元をnとすると、初期値がL^1の意味でn階微分可能なSobolev空間W^<n,1>に属していれば、解のL^∞-normは((n-1))/2の多項式オーダーで時間減衰する。さらにこの結果と解のエネルギー等式を補間することにより、いわゆるL^p-L^q評価が得られる。来年度はこれらの結果を利用して、本来の非線形問題に対して時間大域解の存在を証明していく予定である。

首先，我们将吴的结果扩展到一般n维空间的情况。换句话说，当没有表面张力且深度无限大时，我们证明即使空间维度为四或更大，初值问题也是合适的。关键在于简化为拟线性方程组，这样做时会发生与2维和3维空间相同的抵消，从而保证其适用性。尽管这个结果是时间局部的，但考虑到方程的色散性质，随着空间维度的增加，人们高度期望时间全局解的存在。接下来，我们对线性化方程进行了时间衰减评估，该方程在零解附近进行了线性化，并得到了以下结果。设空间维度为n，如果初始值属于L^1意义上的第n个可微Sobolev空间W^<n,1>，则解的L^∞-范数为((n-1 ) )/2 多项式数量级的时间衰减。此外，通过对该结果和解的能量方程进行插值，可以获得所谓的L^p-L^q评估。明年，我们计划利用这些结果来证明原始非线性问题的时间全局解的存在性。

项目成果

Tatsuo Iguchi: "Well-Posedness of the Initial Value Problem for Capillary-Gravity Waves"Funkcialaj Ekvacioj. (in press).

Tatsuo Iguchi：“毛细管重力波初值问题的适定性”Funkcialaj Ekvacioj。