リーマン面上の射影構造の離散的ホロノミー表現の研究

黎曼曲面上射影结构的离散完整表示研究

基本信息

批准号：
12740084
负责人：
松崎克彦
金额：
$ 1.54万
依托单位：
Ochanomizu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
2000
资助国家：
日本
起止时间：
2000 至 2001
项目状态：
已结题

项目摘要

閉曲面S上に入る射影構造、すなわち局所的にリーマン球面をモデルとし,座標変換がメビウス変換であるような幾何構造を考える.リーマン面上の射影構造全体の空間は,その上の正則2次微分全体のなすベクトル空間と同一視することができるが,リーマン面の複素構造も変形して面S上,の全射影構造の空間を考えると,タイヒミュラー空間を底空間とし,各ファイバーが正則2次微分の複素ベクトル空間である解析的バンドルP(S)が得られる.P(S)からSの基本群のPSL(2, C)表現空間への写像で,射影構造に対してそのホロノミー表現を対応させたものをホロノミー写像という.面の基本群の離散表現空間は複素力学系理論における有理関数のマンデルブロー集合に相当するものである.これを擬等角写像等の複素解析的方法と,面上の双曲構造およびPSL(2, C)表現に対応して現れる3次元双曲多様体の幾何学を用いて解析した.マンデルブロー集合の境界の解析のためには,擬フックス群の場合に射影構造の構成法の一意性を述べたGoldmanの定理を,ホロノミー表現が全退化群となるものにも拡張することが必要になった.このためには,展開写像から決まるある種の領域がリーマンのを位相的には単純に分割していることを示し,その分割から展開写像の構成法に関する情報を引き出すことが問題であった.極限集合の局所連結性は仮定できないので,古典的な平面上の等角写像の境界挙動の解析を用いた新しい手作りの議論が要求された.Goldmanの定理の拡張のためのプログラムが公表でき,いくつかのステップを設定し,リーマン面上の単連結領域に関する論文を書いた.しかし,全退化群の極限集合を考える過程で,連続体の分解可能性という概念が議論のために本質的であることにはじめて気付いた.これはgeneral topologyにおける問題であったが,それ自身膨大な研究がされている分野であると同時に,力学系の理論でも特異集合の分解可能性が問題の本質になっている場合が多い.実際,複素力学系のジュリア集合の分解可能性についてもRogersによる一連の仕事が既になされていた.それをクライン群の場合に焼き直した論文を書いた.

考虑落在闭合曲面S上的射影结构，即黎曼球局部建模、坐标变换为莫比乌斯变换的几何结构。整个射影结构在黎曼曲面上的空间是一个正二次方它可以等同于所有微分形成的向量空间。然而，如果我们也对黎曼曲面的复结构进行变换，并考虑曲面S上所有射影结构的空间，我们可以形成一个解析丛P，其中Teichmuller空间是基空间，每个纤维是一个复向量空间获得正则二次导数 (S)。从 P(S), PSL(2, C）完整表示对应于射影结构的表示空间的映射称为完整映射。基本曲面群的离散表示空间对应于复杂动力系统理论中的Mandelbrot有理函数集。这可以使用复杂的分析方法来解决，例如准共形映射、曲面上的双曲结构和 PSL(2, C) 使用与表示相对应出现的三维双曲流形的几何形状进行分析。为了分析Mandelbrot集的边界，我们需要解释案例中射影结构构造方法的唯一性的伪 Fuchsian 群定理，完整的表示是完整的。有必要将其扩展到退化群。为此，有必要证明由展开图确定的某个区域可以简单地划分黎曼拓扑，并且可以从该划分中提取有关如何构造展开的信息。地图。问题是无法假设极限集的局部连通性，因此需要使用经典平面上共形映射的边界行为分析来进行新的手工论证。该程序可以发布，并且一些。我写了一篇关于黎曼曲面上的简单连通区域的论文。然而，在考虑完全退化群的极限集的过程中，我意识到连续统可分解性的概念对于讨论至关重要。我第一次注意到这一点。很一般虽然这是拓扑学中的一个问题，但它本身就是一个被广泛研究的领域，同时，奇异集的可分解性往往是动力系统理论中问题的本质。事实上，复杂力学 A罗杰斯已经就 Julia 系统集的可分解性完成了一系列工作。我写了一篇论文，在克莱因群的情况下重新设计了这项工作。