有限環上の代数的符号理論と格子および組合せデザインとの関係について

有限环代数编码理论与格与组合设计的关系

基本信息

批准号：
12740053
负责人：
原田昌晃
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Yamagata University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
2000
资助国家：
日本
起止时间：
2000 至 2001
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-12740053/
关键词：
自己双対符号組合せデザイン格子

项目摘要

本研究では、有限環上の代数的符号理論(特に、自己双対符号)とユニモジュラ格子および組合せデザインの関係についての研究を行なった。昨年度に引続き、位数2の有限体GF(2)上の長さ50の自己双対符号を考えることにより新しい擬対称2-(49,9,6)デザインの構成について考えた。自己同型の性質を用いて、かなりの数の新しい極値的自己双対符号と擬対称2-(49,9,6)デザインが構成出来た。このように多くの例の存在が知られているパラメータは他には今のところない。デザインの構成に符号が非常に役に立った例だと思われる。新しいユニモジュラ格子を構成したり良く知られているユニモジュラ格子の性質を調べることを動機として、あらゆるタイプの自己双対符号についての研究も行なった。一番の大きな進展は、位数3の有限体GF(3)上の自己双対符号からユニモジュラ格子を構成する方法を格子のshadowの理論を用いて調べあげた。特に、符号の最小重さと格子の最小ノルムの関係、偶格子になる条件、どのような自己双対符号が良い格子を構成するか、などについてまとめた。また、44次元、60次元、68次元において、初めて極値的ユニモジュラ格子を構成することが出来た。ユニモジュラ格子の構成を目的としてZ_<2k>上の極値的自己双対符号の構成も行なった。特に、Z_4、Z_6上の極値的自己双対符号についての研究を行ない、例えば、46次元、47次元の極値的ユニモジュラ格子を初めて構成することに成功した。

在这项研究中，我们研究了有限环上的代数码理论（特别是自对偶码）、幺模格和组合设计之间的关系。继去年之后，我们通过考虑 2 阶有限域 GF(2) 上长度为 50 的自对偶码，考虑构建新的伪对称 2-(49,9,6) 设计。利用自同构的性质，我们能够构造大量新的极值自对偶码和伪对称 2-(49,9,6) 设计。目前还没有其他参数已知存在如此多的示例。这似乎是代码在设计构成中极其有用的一个例子。在构建新的单模格子和研究著名的单模格子的性质的推动下，我们还对所有类型的自对偶码进行了研究。最重要的进展是研究了利用晶格阴影理论在 3 阶有限域 GF(3) 上从自对偶码构造幺模晶格的方法。特别总结了码的最小权与格的最小范数之间的关系、偶格的条件以及什么样的自对偶码构成了好格。此外，我们第一次能够构建 44、60 和 68 维的极值单模格子。为了构造幺模格，我们还在 Z_<2k> 上构造了极值自对偶码。特别是对Z_4和Z_6进行了极值自对偶码的研究，首次成功构造了46维和47维的极值幺模格。