Rees環と随伴次数環のBuchsbaum性に関する研究

Rees环和伴随阶环的Buchsbaum性质研究

基本信息

批准号：
12740027
负责人：
中村幸男
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Meiji University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
2000
资助国家：
日本
起止时间：
2000 至 2001
项目状态：
已结题

项目摘要

可換環A上のイデアルIがI=JK(J, KはAのイデアル)ならば,J=AまたはK=Aとなる性質を持つときIは単純イデアルとよばれる.Zariski-Samuleによれば,2次元正則局所環(A,m)上のm-準素な整閉イデアルは,m-準素・整閉・単純イデアルの積として一意的に表すことができる.その後,この方面の研究はLipmanによって環が有理特異点を持つ場合に拡張されたり,Hunekeによってm-準素・整閉・単純イデアルと付値環との一対一に対応に関する深い理論へと発展していった.しかしながら,2次元正則局所環上のm-準素イデアルの中でも「如何なるイデアルが整閉な単純イデアルとなるか?」という問題についてexplicitに述べている文献はないように思える.また,m-準素・整閉・単純イデアルの有する特徴として,そのRees環が如何なる性質を持つかという問題はシンプルにもかかわらず,とても重要なものに思えるのだが,このような問題については未だ提起されたことはないようである.この問題について考察して次の結果が得られた.命題1 (A,m)を2次元正則局所環とし,x,yを正則パラメータ系とする.このとき,互いに素な整数m,n>0に対して(x^m,y^n)の整閉包はm-準素・整閉・単純イデアルである.環が次数付環である場合には,この命題の逆も正しい.すなわち,次の主張が成り立つ.命題2 A=k[x,y]を体k上の多項式環とし,イデアルIはA内の単項式で生成されたイデアルとする.もしIが(x,y)-準素で整閉な単純イデアルならば,互いに素な整数m,n>0が存在しIは(x^m,y^n)の整閉包となる.これらの結果から,ひとつの応用として次の結果が得られる.定理 IをA=k[x,y]上の(x,y)-準素・整閉・単純なモノミアルイデアルとする.このとき次の2条件は同値である.(1)IのRees環をR(I)とするとき,射影スキームProjR(I)はGorensteinである.(2)IのorderはIである.すなわちIは(x,y)^2に含まれないイデアルである.

交换环A上的理想I为I=JK(J, K 是 A) 的理想，则 I 具有 J=A 或 K=A 的性质，则称为简单理想。根据 Zariski-Samule，二维正则局部环 (A,m) 上的 m -拟不相交积分理想是 m- 拟不相交积分和简单理想的乘积。随后，这一领域的研究被Lipman扩展到环具有有理奇异性的情况，并被Huneke扩展到m-拟素数、积分、简单理想和估价环的配对，首先发展成深层的对应理论。。然而，似乎没有文献明确解决这个问题“二维正则局部环上的m-半素理想中的封闭简单理想是什么样的理想？此外，m-拟元、积分闭的特征，以及简单的理想尽管很简单，里斯环具有什么性质的问题似乎非常重要，但似乎从未提出过这样的问题。得到了以下结果。命题1。设(A,m)为二维全纯局部环，x,y为全纯参数系统，则对于互素整数m,n>0，(x^m,y^n)的积分闭包为m-半素积分封闭简单理想。如果环是度环，则该命题的逆命题也成立。换句话说，以下命题成立。命题 2设 A=k[x,y] 是域 k 上的多项式环，理想 I 是 A 中单项式生成的理想。如果 I 是 (x,y)-半素数且积分的简单理想，例如，有存在互质整数m,n>0，且I是(x^m,y^n)的整数闭包。根据这些结果，作为应用，我们可以得到以下结果。定理设 I 为 A=k[x,y] 上的 (x,y)-拟素数、闭单项式理想。则，以下两个条件等价： (1) I 的 Rees 当环为 R( I)，投影方案ProjR(I)为Gorenstein。 (2) I的阶为I。即I是不包含在(x,y)^2中的理想。