確率振動積分の漸近挙動の研究

随机振荡积分的渐近行为研究

基本信息

批准号：
09740159
负责人：
上木直昌
金额：
$ 1.15万
依托单位：
Himeji Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1997
资助国家：
日本
起止时间：
1997 至 1998
项目状态：
已结题

项目摘要

数学や物理の様々な場面においてWiener空間上の汎関数積分の漸近挙動を考える問題が自然に現われる。本研究ではそのうち確率振動積分と呼ばれる被積分汎関数が振動する場合について関係する問題を多角的な方面から取り組むことを課題としている。特に本研究では最も基本的で応用の多い、磁場のあるSchrodinger作用素に関係した確率振動積分を主な対象としている。本年得られた知見の主なものは2次元Euclid空間上の2次のHamiltonianのスペクトル構造を完全に決定したことと、このHamiltonianによって生成されるheat semigroupの積分核にmetaplectic表現とMehlerの公式を用いた表現を与え、その積分核の1つの解析法を与えたことである。これは松本裕行氏(名古屋大)との協力によって得られた結果であり、以前にHamiltonianに非負定値性を仮定して行っていた研究を一般の場合に拡張しようとする試みの中で得られた。この非負定値性の仮定をはずすという問題は確率振動積分の可積分性の問題に関わってくる。実際対応するheat semigroupの積分核の確率振動積分による表現はHamiltonianが非負定値のとき以外は収束するとは限らない。特に大事なことはこの表現が絶対収束はしないが条件収束する確率振動積分の具体例を与えることである。我々は本研究でこの基本的で具体的な場合に確率振動積分の可積分性の問題に取り組む1つの方法を与えたことになる。この研究についてはまだ次元を一般にするなどの問題が残されており、今後も追及していきたい。

在数学和物理的各种情况下，自然会出现考虑维纳空间上函数积分渐近行为的问题。本研究的目的是从多方面的角度解决与被积函数振荡的情况（称为随机振荡积分）相关的问题。特别是，本研究重点关注与磁场薛定谔算子相关的随机振荡积分，这是最基本且应用广泛的方法。今年取得的主要成果是二维欧几里得空间上二阶哈密顿量的谱结构的完整确定，以及由该哈密顿量产生的热半群的积分核的元逻辑表达式和梅勒公式。给出一个使用的表达式，以及分析其积分核的方法。该结果是与 Hiroyuki Matsumoto（名古屋大学）合作获得的，旨在将之前假设哈密顿量非负定性的研究扩展到一般情况。消除这种非负定性假设的问题与随机振荡积分的可积性问题有关。事实上，除非哈密顿量非负定，否则用随机振荡积分表达对应的热半群的积分核并不一定收敛。特别重要的是，该表达式提供了随机振荡积分的具体示例，该积分不是绝对收敛的，而是有条件收敛的。在本研究中，我们提供了一种在这种基本且具体的情况下解决随机振荡积分可积问题的方法。这项研究还存在一些问题，比如维度的通用化，我想在未来继续研究这些问题。