低次元力学系におけるカオスの研究

低维动力系统混沌研究

• 批准号: 09740127
• 负责人: 辻井 正人
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1997
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1997 至 1998
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-09740127/
• 关键词: 力学系; カオス; エルゴード理論; 絶対連続不変測度; 区分拡大的写像; エントロピー; 1次元力学系

本年度は主に多次元の区分拡大的写像のエルゴード理論的性質について研究を行った。ユークリッド空間の区分的に滑らかな境界を持つ領域からそれ自身への写像を考え、写像は定義域を有限個の区分的に滑らかな境界を持つ部分領域に分割し、それぞれの上では滑らかで拡大的であるとする。このような写像は区分拡大的写像と呼ばれる。このとき写像の微分可能性は写像の連続部分における滑らかさと境界の滑らかさの小さい方を示すとする。主な研究成果は次の3点である。(1)2次元平面上の実解析的区分拡大的写像については有限個の絶対連続不変エルゴード的測度が存在し、ルベーグ測度についてほとんど全ての点の軌道の経験分布はそれらのいずれかに収束することを示した。これは1次元の場合のラソタ=ヨークの有名な結果の拡張である。(2)一方、逆に区分拡大的写像において、微分可能性を有限階しか仮定しない場合には、ある開球の反復合成による像の半径が0に収束するような例があることを示し(1)の場合の事実が成立しないことを証明した。このことは長年の懸案を否定的に解決するものであった。(3)任意次元の区分線形拡大写像について絶対連続不変測度が存在して(1)の場合の事実が成立することを証明した。実際は、任意次元の実解析的区分拡大的写像についても成立が予想されているが、これについては今後の課題である。

今年主要研究了多维分段可拓映射的遍历性质。考虑从具有分段平滑边界的欧几里得空间区域到其自身的映射，其中该映射将域划分为有限数量的具有分段平滑边界的子区域，每个子区域都具有平滑且扩展的假设为真。这种映射称为分段展开映射。在这种情况下，假设映射的可微性指示映射的连续部分的平滑度和边界的平滑度中的较小者。主要研究成果有以下三点。 (1) 对于二维平面上的实解析分段扩张图，存在有限个绝对连续且不变的遍历测度，对于勒贝格测度，几乎所有点轨迹的经验分布都收敛于其中之一。结果表明这是拉索塔-约克著名的一维情况结果的延伸。 (2) 另一方面，在分段可拓映射中，如果我们仅假设有限程度的可微性，我们表明存在一个例子，其中通过开球的迭代合成而得到的图像的半径收敛于 0 (事实证明，情况1）的事实不成立。这是对一个长期存在的问题的消极解决方案。 (3) 证明了任意维度的分段线性展开图存在绝对连续不变测度，且情况(1)成立。事实上，预计这也适用于任意维度的实解析分段外延映射，但这是未来的主题。

项目成果

辻井正人: "Piecewise expanding maps on the plane with singular ergodic propertses" Ergodic theory and Dynamical Systems. (印刷中).

Masato Tsujii：“具有奇异遍历特性的平面上的分段扩展地图”遍历理论和动力系统（正在出版）。

辻井正人: "A simple proof of monotonicity of entropy in quadratic family" Ergodic theory and Dynamical Systems. (印刷中).

Masato Tsujii：“二次族中熵单调性的简单证明”遍历理论和动力系统（正在出版）。