非線形放物型偏微分方程式の自己相似解

非线性抛物型偏微分方程的自相似解

• 批准号: 10740086
• 负责人: 内藤 雄基
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Kobe University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1998
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1998 至 1999
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-10740086/
• 关键词: Self-similar solutions; radial symmetry; semilinear heat equations; moring plane method; semilinear elliptic equations; 偏微分方程式; 球対称性; 最大値原理; 正値解

本研究では、相似変換に関して不変な非線形放物型偏微分方程式に対して、その特性および特殊性がどのように解の振る舞いに反映されるか、という観点から考察を行った。とくに、非線形偏微分方程式∂_tu(x,t)=Δu(t,x)+f(u(t,x))において、f(u)=u^pの場合を重点的に考察を行い、以下の成果を得た。1.この方程式の自己相似解は指数的に急速に減衰する解と多項式オーダーで緩やかに減衰する解が存在することが知られている。ここでは、この指数的に減衰する解は、原点を中心とした球対称性を必ず持つことを示すことができた。2.この方程式は自己相似解に対して変分構造を持ち、1で述べた指数的に減衰する解は、ある汎関数の極小値を与える関数に対応することが知られている。この指数的に減衰する解は、変分法で得られる弱解のクラスにおいても唯一つに限ることを示すことができた。3.この方程式に対してパラメーターを伴うCauchy問題を考えた。パラメーターの値に伴い、時間大域的な解と有限時刻でblow-upする解が現れる状況において、パラメーターを連続的に変化させたとき、解が時間大域的であるところとblow-upするところの境界において、その解が自己相似的な挙動をすることを示した。4.この方程式に対して、初期関数に特異性を持つCauchy問題を考え、適当な条件のもとで最小解を持つことを示した。それにより1で述べた多項式オーダーで減衰する解は、対称性を持たないことがあり得ることを示した。

在本研究中，我们从非线性抛物型偏微分方程的特征和特殊性如何反映在解的行为中的角度考虑了对于相似变换不变的非线性抛物型偏微分方程。特别地，在非线性偏微分方程 ∂_tu(x,t)=Δu(t,x)+f(u(t,x)) 中，我们重点关注 f(u)=u^p 的情况，得到以下结果。 1.已知该方程存在自相似解，一个以指数方式快速衰减，另一个以多项式的量级缓慢衰减。在这里，我们能够证明这种指数衰减解始终具有关于原点的球对称性。 2.该方程具有自相似解的变分结构，已知1中提到的指数衰减解对应于给出某个泛函最小值的函数。我们能够证明，即使在通过变分方法获得的弱解类别中，这种指数衰减解也是唯一的。 3. 我们考虑了该方程参数的柯西问题。在根据参数值出现时间全局解和有限时间爆炸解的情况下，当参数连续变化时，时间全局解和爆炸解之间的差异为解在边界处表现自相似。 4.对于这个方程，我们考虑了初始函数具有奇异性的柯西问题，并表明它在适当的条件下具有最小解。结果，我们证明了按 1 中提到的多项式阶次衰减的解可能不具有对称性。

项目成果

Yuki Naito: "Non existence results of positive solutions for semilinear elliptic equations in IR^n"J.Math.Soc.Japan. (発表予定).

Yuki Naito：“IR^n 中半线性椭圆方程的正解不存在”J.Math.Soc.Japan（待提交）。

Yuki Naito: "Radial symmetry of positive solutions for semilinear elliptic equations on the unit hall in IR^n"Funkcial.Ekvac.. 41. 215-234 (1998)

Yuki Naito：“IR^n 中单位大厅上半线性椭圆方程正解的径向对称性”Funkcial.Ekvac.. 41. 215-234 (1998)

Yuki Naito: "A note on radial symmetry of positive solutions for semilinear elliptic equations in IR^n"Differential Integral Equations. 11. 835-845 (1998)

Yuki Naito：“关于 IR^n 中半线性椭圆方程正解的径向对称性的注释”微分积分方程。

Yuki Naito: "A note on the moving sqhere method" Pacific J.Math. (発表予定).

Yuki Naito：“关于移动平方方法的注释”Pacific J.Math（待提交）。

Yuki Naito: "A note on the moring sphere mothod"Pacilic J.Muth.. 189. 107-115 (1999)

Yuki Naito：“关于莫宁球方法的注释”Pacilic J.Muth.. 189. 107-115 (1999)