量子ウォークの定常性、局在性、再帰性の数理的構造の解明およびその応用

阐明量子行走的平稳性、局部性和递归的数学结构及其应用

• 批准号: 22K13959
• 负责人: 小松 尭
• 金额: $ 2.41万
• 依托单位: Hiroshima University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22K13959/
• 关键词: 量子ウォーク; 古典ランダムウォーク; 今野・佐藤の定理; 伊原ゼータ関数; 定常測度; 転送行列; 本質的スペクトル; 一般化固有関数; 局在性; 定常性; 再帰性; スペクトル

本研究課題は量子ウォークの数理的構造を明らかにすることを目的としており、今年度は以下の二つの課題に取り組んだ。(1)今野紀雄氏(横浜国立大学)と佐藤巌氏(小山工業高等専門学校)との共同研究で、量子ウォークとグラフゼータ関数の関係性を明らかにすることを目的に研究をおこなった。Grover/Zeta対応で得た結果のポイントは今野・佐藤の定理を使った極限の意味で、無限グラフ上の2種類のゼータ関数の明示公式が求まった点であり、Chinta et al.や Clairが得た伊原の公式の表現と一致している。本年度は、これらの結果が量子ウォークにとどまらず、古典ランダムウォーク、相関付きランダムウォークなどまでに拡張できたことにある。この結果はJournal of Statistical Physics(JSP)に掲載された。その他にも、量子ウォークとマーラー測度との関係を述べた結果がQuantum Information Processingに、Vertex-Faceウォークとグラフゼータ関数の対応関係はJournal of Algebraic Combinatoricsに掲載された。(2) 二つ目の課題は、量子ウォークの定常性に関する研究である。マルコフ過程で得られている一般論を量子ウォークに対して構築するにあたって、量子ウォークの定常測度を明らかにすることが第一歩となる。本年度は1次元格子上の2状態量子ウォークについて考察し、固有値問題から誘導される定常測度の集合を求めた。量子ウォークの固有値問題から定まる定常測度は多項式タイプ、有界タイプ、指数タイプの3つに分類されることがわかった。さらに、有界タイプの定常測度の中には、空間的に周期性をもった測度が存在することがわかった。得られた結果と古典ランダムウォークの定常測度との対応関係が明確になった。これらの結果はJSPに掲載された。

这个研究项目的目的是阐明量子行走的数学结构，今年我们做了以下两项任务。 (1) 我们与绀野纪男先生（横滨国立大学）和佐藤岩男先生（小山国立工业大学）合作进行了研究，旨在阐明量子游走和图 zeta 函数之间的关系。用 Grover/Zeta 对应得到的结果的关键点在于，我们使用 Konno-Sato 定理找到了无限图上两类 zeta 函数的显式公式，这与 Chinta 等人和 Clair 一致。伊原的官方表情得到了。今年，我们不仅能够将这些结果扩展到量子游走，还可以扩展到经典随机游走、相关随机游走等。研究结果发表在统计物理学杂志（JSP）上。此外，描述量子游走与马勒测度之间关系的结果发表在《量子信息处理》上，顶点面游走与图zeta函数之间的对应关系发表在《代数组合学杂志》上。 (2)第二个问题是量子行走的平稳性研究。构建量子行走马尔可夫过程的一般理论的第一步是澄清量子行走的平稳测度。今年，我们考虑了一维晶格上的二态量子行走，并发现了一组源自特征值问题的平稳测度。研究发现，由量子行走特征值问题确定的平稳测度可分为三种类型：多项式型、有界型和指数型。此外，发现在有界类型的平稳测度中，存在具有空间周期性的测度。获得的结果与经典随机游走的平稳测量之间的对应关系变得清晰。这些结果发表在 JSP 上。

项目成果

Walk/Zeta Correspondence

• DOI: 10.1007/s10955-022-03052-9
• 发表时间: 2021-04
• 期刊: Journal of Statistical Physics
• 影响因子: 1.6
• 作者: T. Komatsu;N. Konno;I. Sato

Mahler/Zeta Correspondence

马勒/泽塔通讯

• DOI: 10.1007/s11128-022-03644-0
• 发表时间: 2022
• 期刊: Quantum Information Processing
• 影响因子: 2.5
• 作者: Komatsu Takashi;Konno Norio;Sato Iwao;Tamura Shunya
• 通讯作者: Tamura Shunya

Stationary Measure Induced by the Eigenvalue Problem of the One-Dimensional Hadamard Walk

一维Hadamard行走特征值问题引起的平稳测度

• DOI: 10.1007/s10955-022-02901-x
• 发表时间: 2022
• 期刊: Journal of Statistical Physics
• 影响因子: 1.6
• 作者: Komatsu Takashi;Konno Norio
• 通讯作者: Konno Norio

Vertex-Face/Zeta correspondence

• DOI: 10.1007/s10801-022-01122-5
• 发表时间: 2021-07
• 期刊: Journal of Algebraic Combinatorics
• 影响因子: 0.8
• 作者: Takashi Komatsu;Norio Konno;Iwao Sato