領域上の特異な拡散過程に対する一意性と離散近似

区域上奇异扩散过程的唯一性和离散近似

• 批准号: 22K13926
• 负责人: 松浦 浩平
• 金额: $ 1.16万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22K13926/
• 关键词: 反射壁ブラウン運動; 離散近似; 拡散過程; 道ごとの一意性; 境界条件

京都大学の日野正訓教授及びその指導学生であった真木新太氏との共同研究において、ユークリッド空間の領域上の反射壁ブラウン運動の離散近似に関する結果を得ることができた。この近似は領域の分割上のマルコフ連鎖を用いたものであり、重要な分割の例としては、一様かつ独立なランダム点配置から定まるボロノイ分割が挙げられる。この種の状況では、点配置が不均一であることに由来する問題が多く発生し、適切なマルコフ連鎖の構成自体が非自明なものとなる。本研究では、この種の不均一性を補正するため、均質化理論に見られるようなコレクターの導入が重要となった。また、反射壁ブラウン運動の生成作用素であるノイマン・ラプラシアンの芯についても結果を得ることができた。本研究の結果を周知するため、国内の確率論セミナーで講演を行った。ユークリッド空間の領域上の反射壁ブラウン運動の離散近似に関しては、領域内の格子点上の単純ランダムウォークを用いた先行研究があった。これは、ワシントン大学のK.Burdzy氏とZ.Q.Chen氏らによってなされたものである。証明では、ランダムウォークの列の部分列極限の存在を示し、更にそれがマルコフ性をもつことを確認する必要があった。マルコフ性の証明にあたっては、T.Delmotte氏による放物型ハルナック不等式が用いられていたが、別の方法による証明を与えた。これはマルコフ連鎖に対応する生成作用素のスペクトルギャップの定量評価を用いたものである。

在与京都大学 Masanori Hino 教授及其学生 Arata Maki 的联合研究中，我们获得了欧几里得空间区域上反射壁布朗运动的离散近似结果。这种近似使用马尔可夫链进行区域划分，划分的一个重要例子是根据均匀且独立的随​​机点排列确定的Voronoi划分。在这种情况下，由于点的排列不均匀，会出现许多问题，并且构建适当的马尔可夫链本身就变得非常重要。在本研究中，为了纠正这种类型的异质性，引入均质化理论中所见的收集器非常重要。我们还获得了关于诺伊曼-拉普拉斯算子核心的结果，它是反射壁布朗运动的发生器。为了传播这项研究成果，我在国内概率论研讨会上做了演讲。关于欧几里德空间区域上反射壁布朗运动的离散近似，先前已有研究在该区域内的网格点上使用简单的随机游走。这是由华盛顿大学的 K. Burdzy 先生和 Z. Q. Chen 先生完成的。在证明中，需要证明随机游走序列的子序列极限的存在性，并证实其具有马尔可夫性质。在证明马尔可夫性质时，使用了T. Delmotte的抛物线哈纳克不等式，但他用另一种方法给出了证明。这使用了与马尔可夫链相对应的生成器的频谱间隙的定量评估。

项目成果

Discrete approximation of reflected Brownian motions by Markov chains on partitions of domains

域划分上马尔可夫链反射布朗运动的离散近似

• 发表时间: 2023
• 作者: Yuki Ueda;Takahiro Hasebe;Kei Noba and Noriyoshi Sakuma;Yuki Ueda;Yuki Ueda;Y. Abe and M. Biskup;阿部 圭宏;松浦浩平
• 通讯作者: 松浦浩平

Discrete approximations of reflected Brownian motions by Markov chains on partitions of domains

域划分上马尔可夫链反射布朗运动的离散近似

• 发表时间: 2022
• 作者: Yuki Ueda;Takahiro Hasebe;Kei Noba and Noriyoshi Sakuma;Yuki Ueda;Yuki Ueda;Y. Abe and M. Biskup;阿部 圭宏;松浦浩平;松浦浩平;松浦浩平
• 通讯作者: 松浦浩平