対称空間の観点からの Damek-Ricci 空間の一般化とその幾何構造の研究

对称空间视角下Damek-Ricci空间的推广及其几何结构研究

• 批准号: 22K13919
• 负责人: 久保 亮
• 金额: $ 2.41万
• 依托单位: Hiroshima Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22K13919/
• 关键词: 対称空間; Damek-Ricci 空間; Lie 群上の左不変幾何構造

本研究課題は対称空間論の観点から Damek-Ricci 空間の一般化，およびその幾何構造の研究を行うものである．2022 年度は非コンパクト型対称空間内の部分多様体の幾何構造の研究を行った：(1) 非コンパクト実 2-平面 Grassmann 多様体内の然るべき等質超曲面がよい接触構造を持つことを示した．本研究課題の目的の１つは非コンパクト型対称空間内の部分多様体の幾何構造の研究である．我々の先行研究により，非コンパクト実 2-平面 Grassmann 多様体内のある等質超曲面が (κ,μ)-空間と呼ばれる特殊な接触計量多様体であることが示されていたが，今回はその超曲面を変形して得られる然るべき等質超曲面(族)も同様に (κ,μ)-空間であることを示した．なおその事実自体は先行研究によって知られていたが，我々は Lie 環論の観点からの別証明を与えた．非コンパクト実 2-平面 Grassmann 多様体は階数 2 非コンパクト型 (Hermite) 対称空間のモデルとなるものであり，その部分多様体の幾何構造や Lie 環構造が得られたことは，本研究課題において重要であると考える．(2) AI型の非コンパクト型対称空間内の然るべき部分多様体について，その断面曲率について調べた．本研究課題の目的の１つは Damek-Ricci 空間の一般化であるが，その際に一般化した空間が Einstein 性や Hadamard 性（非正曲率性）を持つことを期待している．そのため，Einstein かつ非正曲率な Riemann 多様体の例を調べることは重要である．先行研究により非コンパクト型対称空間内には Einstein 性を持つ部分多様体の例が多く存在することが知られている．そこで，トイモデルとして AI 型対称空間内でそのような部分多様体の断面曲率や幾何構造について調べた．

本研究项目旨在推广Damek-Ricci空间并从对称空间理论的角度研究其几何结构。 2022年，我们研究了非紧对称空间中子流形的几何结构： (1) 我们证明了非紧实2平面格拉斯曼流形中的齐次超曲面具有良好的接触结构．该研究项目的目标之一是研究非紧对称空间中子流形的几何结构。我们之前的研究表明，非紧实2平面格拉斯曼流形中的齐次超曲面是一种特殊的接触度量流形，称为(κ,μ)-空间。我们证明，通过变形超曲面得到的齐次超曲面（族）为也是一个(κ,μ)-空间。尽管这个事实本身从之前的研究中已经得知，但我们从李环理论的角度提供了另一个证明。非紧实二平面格拉斯曼流形是二阶非紧（Hermite）对称空间的模型，获得其子流形的几何结构和李环结构对于本研究项目具有重要意义。我认为这很重要。 (2)我们研究了AI型非紧对称空间中给定子流形的横截面曲率。本研究项目的目的之一是推广Damek-Ricci空间，我们希望推广的空间具有Einstein性质和Hadamard性质（非正曲率性质）。因此，研究既是爱因斯坦曲率又是非正曲率的黎曼流形的例子很重要。先前的研究表明，在非紧对称空间中存在许多具有爱因斯坦性质的子流形的例子。因此，我们将这种子流形在AI型对称空间中作为玩具模型来研究其横截面曲率和几何结构。

项目成果

A Lie theoretic interpretation of realizations of some contact metric manifolds

一些接触度量流形的实现的李理论解释

• DOI: 10.1142/9789811248108_0005
• 发表时间: 2022
• 期刊: New Horizons in Differential Geometry and Its Related Fields
• 作者: Takahiro Hashinaga;Akira Kubo;Yuichiro Taketomi;Hiroshi Tamaru
• 通讯作者: Hiroshi Tamaru