Study on the nonlinear geometric heat flow via a geometric analysis approach

通过几何分析方法研究非线性几何热流

基本信息

批准号：
21K13824
负责人：
中村謙太
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Kumamoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

令和4年度は, 4本の論文投稿を行い, うち2本が掲載受理された．まず一つは，近年活発に研究されている局所・非局所混合型作用素の楕円型・放物型問題について．特に，中村は局所・非局所二重非線形放物型方程式の正値解に対する弱解に対する弱Harnack評価の導出に成功した．次に，p-Laplacianを主要部に含む速い拡散・遅い拡散すべてを含む二重非線形放物型方程式に対する，あるエネルギークラスに属する弱解の存在を[Nakamura-Misawa, Nonlinear Anal. (2018)]で獲得した後退差分の方法と，弱収束の方法により証明した，この結果のハイライトは，近似階の空間一階微分のL^p強収束にある．従来，Jungerbulerらのp-調和写像の方法によれば，L^p強収束までは到達しなかったのであるが，Kinnunen-Lidqvist (Adv. Calc. Var. (2006)) による指数型mollifierを用いることにより，この障害を乗り越え，あらゆる拡散方程式に対する(Cauchy-Diriclet問題の)解の存在を担保できた．残り2つは，分数階放物型DeGiorgiクラスを新たに設定し，局所有界性，弱Harnack評価，下半連続表現ついてまとめ，現在投稿中である．また，最後の4つ目は，分数階p-Sobolev流に対する体積一定問題への変換について，まとめたもので，こちらも投稿中である．

2020财年，我们提交了四篇论文，其中两篇被接受发表。第一个是局部和非局部混合算子的椭圆和抛物线问题，近年来得到了积极的研究。特别是，中村成功地推导了局部和非局部双非线性抛物型方程的正值解的弱 Harnack 评估。接下来，我们研究双非线性抛物型方程是否存在属于特定能量类的弱解，该方程包括快速扩散和慢速扩散，其中主要部分包括 p-拉普拉斯算子 [Nakamura-Misawa，非线性分析 (2018)。 ] 这个结果的亮点是逼近阶的空间一阶导数L^p的强收敛性，这通过中得到的后向差分法和弱收敛性的方法得到了证明。此前，Jungerbuler 等人的 p 调和映射方法并未达到 L^p 强收敛，但使用 Kinnunen-Lidqvist 的指数缓和器 (Adv. Calc. Var. (2006)) 这样做，我们能够克服这个障碍并保证所有扩散方程都存在解（柯西-狄里克雷问题）。剩下的两个目前正在通过建立一个新的分数阶抛物线 DeGiorgi 类并总结站点拥有的有界性、弱 Harnack 评估和较低的半连续表示来提交。第四篇也是最后一篇文章是分数阶 p-Sobolev 流向定体积问题转换的总结，该文章目前也在提交中。