Noncommutative Geometry on fraclats and index theory

分形和指数理论中的非交换几何

基本信息

批准号：
21K13795
负责人：
瀬戸樹
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Meiji Pharmaceutical University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

完備Riemann多様体Mを2つに分割する閉部分多様体Nが定まっており, その余次元は1とする. このとき, J. Roeによって分割の情報を用いた巡回コサイクルζが導入された. Roeや私などによって, このζを用いてN上の作用素のFredholm指数を引き出す指数定理が証明されている. 本研究ではこのζを次のようなフラクタルが関わる状況で一般化することを目標としている.N. Higsonによると, ζは2点コンパクト化に対応し, 境界 (2点) の情報を引き出している. そこで, 本研究では, 複雑な境界, 特にフラクタル的な構造をもつ境界によるコンパクト化を考え巡回コサイクルを定義し, 境界の幾何的情報を取り出す指数定理を構築したい. そのためには, 巡回コサイクルの段階的な一般化とフラクタル集合における非可換幾何学の理解が必要になる.本年度は昨年に引き続き, 丸山氏 (NEC) と共同でフラクタル集合上の非可換幾何学について調べた. 特に, 以前丸山氏と共同で導入した, n次元立方体を基にする自己相似集合に対するFredholm作用素やその変種に注目し, Freholm作用素を用いてフラクタル集合上の非可換幾何学について研究した. 今年度は特にCantor dust上でそのFredholm加群を利用することで, Cantor dust上の非自明な巡回2コサイクルを構成した. その巡回2コサイクルは, 森吉-夏目によって3進Cantor集合上で導入されたものの高次元化であり, Lipschitz関数環の上ではゼロであるという奇妙な性質を持つ.

定义了将完整黎曼流形 M 一分为二的闭子流形 N，其余维数为 1。此时，J. Roe 利用 Roe 和我自己等人证明了该指数的信息，引入了循环余环 ζ。定理，该定理使用此 ζ 推导 N 上算子的 Fredholm 指数。在本研究中，我们的目标是将这个 z 推广到以下涉及分形的情况。根据 N. Higson，z 对应于两点紧致化，并提取边界（两点）上的信息，因此，在本研究中，我们。想要考虑由于复杂边界，特别是具有分形结构的边界而导致的紧致化，定义循环余循环，并构造索引定理来提取边界的几何信息。有必要逐步推广循环余循环并理解分形集上的非交换几何。继去年之后，今年我们将与 Maruyama 先生（NEC）合作研究分形集上的非交换几何。我们重点研究了 Fredholm 算子及其基于 n 维立方体的自相似集的变体，这是我们之前与 Maruyama 先生共同介绍的。我们使用 Freholm 算子研究了分形集上的非交换几何。今年，我们使用 Cantor 尘埃上的 Fredholm 模块构造了一个非平凡的循环 2-cocycle。循环 2-cocycle 是一个更高维的版本。是 Moriyoshi-Natsume 在三元康托集上引入的一个，并且具有在 Lipschitz 函数环上为零的奇怪性质。