Noncommutative Geometry on fraclats and index theory

分形和指数理论中的非交换几何

基本信息

批准号：
21K13795
负责人：
瀬戸樹
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Meiji Pharmaceutical University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

完備Riemann多様体Mを2つに分割する閉部分多様体Nが定まっており, その余次元は1とする. このとき, J. Roeによって分割の情報を用いた巡回コサイクルζが導入された. Roeや私などによって, このζを用いてN上の作用素のFredholm指数を引き出す指数定理が証明されている. 本研究ではこのζを次のようなフラクタルが関わる状況で一般化することを目標としている.N. Higsonによると, ζは2点コンパクト化に対応し, 境界 (2点) の情報を引き出している. そこで, 本研究では, 複雑な境界, 特にフラクタル的な構造をもつ境界によるコンパクト化を考え巡回コサイクルを定義し, 境界の幾何的情報を取り出す指数定理を構築したい. そのためには, 巡回コサイクルの段階的な一般化とフラクタル集合における非可換幾何学の理解が必要になる.本年度は昨年に引き続き, 丸山氏 (NEC) と共同でフラクタル集合上の非可換幾何学について調べた. 特に, 以前丸山氏と共同で導入した, n次元立方体を基にする自己相似集合に対するFredholm作用素やその変種に注目し, Freholm作用素を用いてフラクタル集合上の非可換幾何学について研究した. 今年度は特にCantor dust上でそのFredholm加群を利用することで, Cantor dust上の非自明な巡回2コサイクルを構成した. その巡回2コサイクルは, 森吉-夏目によって3進Cantor集合上で導入されたものの高次元化であり, Lipschitz関数環の上ではゼロであるという奇妙な性質を持つ.

将完整的Riemann歧管M分为两个的封闭的子手机N被定义为两个，并将共同维度设置为1。我和我已经证明了使用该ζ提取官方的Fredholm指数的指数定理。本研究旨在在涉及分形的情况下概括此ζ。根据N. Higson的说法，ζ对应于两点压实，并提取有关边界的信息（两个点）。因此，在这项研究中，我们想定义一个基于复杂边界，尤其是具有分形结构的边界，以构建一个指数定理，以提取有关边界的几何信息。为了实现这一目标，有必要对环状共体进行逐步概括，并了解分形集中的非交通性几何形状。今年，在去年之后，我们与Maruyama（NEC）合作研究了分形套件的非共同几何形状。特别是，我们专注于基于N维立方体的Fredholm操作员及其自相似集的变体，我们先前与Maruyama一起引入了这种差异，并使用Freholm操作员研究了分形集的非共同几何形状。今年，我们在Cantor Dust上使用了Fredholm添加组，并在Cantor Dust上创建了一个非平凡的循环两循环。这种环状的两循环是由Moriyoshi-natsume在三元Cantor套件上引入的，并且具有在Lipschitz函数环上为零的奇怪特性。