スペシャルラグランジアンと深谷圏

特别拉格朗日和深谷区域

• 批准号: 21K13788
• 负责人: 今城 洋亮
• 金额: $ 0.42万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K13788/
• 关键词: 錐型特異点をもつカラビ・ヤウ多様体; Special Lagrangian; スペシャルラグランジアン; 深谷圏

今年度は主に錐型特異点をもつカラビ・ヤウ多様体の性質を調べた。ここでカラビ・ヤウ多様体はコンパクトで、さらにリッチ曲率零のケーラー計量があって、錐型特異点において然るべき漸近挙動をもつものとする。まず、特異点がない場合の性質を思い出そう。この場合、カラビ・ヤウ多様体は有限被覆を取ると、ドラーム分解され、特にホロノミーがSUの部分は射影代数多様体になる。特異点がある場合、接錐が平坦でなければ、ホロノミーはSUかSpで、したがってカラビ・ヤウ多様体も同じホロノミーをもつ。この状況でも、ホロノミーがSUの場合は射影代数多様体になることを証明した。証明方法は特異点がない場合と同じだが、特異点があるぶん複雑になる。まず、特異点を外して、非コンパクトな多様体の重み付きソボレフ空間を使う。そこで調和積分論をして、ボホナー型消滅定理を証明する。最後に、Grauertの埋め込み定理（小平の定理の解析空間版）を使えば証明が終わる。次に錐型特異点をもつカラビ・ヤウ多様体の変形を調べる。特異点がない場合、カラビ・ヤウ多様体の複素構造の変形の障害は無い（Bogomolov--Tian--Todorovの定理）。同じ様に、特異点がある場合も、複素構造の変形の障害は無いことが証明できる。Bogomolov--Tian--Todorovの定理の証明を思い出そう。ひとつの証明は代数幾何のT1リフトを使う。特異点がない場合は、（普通の）調和積分論により、ドルボーコホモロジーのスペクトル系列が退化することが直ぐ分かり、そのことからT1リフトが作れる。特異点がある場合は、調和積分論が複雑になるが、それでも同じことができる。もうひとつ、微分幾何の証明もある。特異点がない場合は、後藤の一般論がある（カラビ・ヤウ、HyperKahler、G2、Spin(7)の変形理論を含む）。これも、特異点がある場合に一般化できる。

今年，我们主要研究了具有锥形奇点的Calabi-Yau流形的性质。这里我们假设 Calabi-Yau 流形是紧致的，具有零里奇曲率的凯勒度量，并且在圆锥奇点处具有适当的渐近行为。首先，让我们回顾一下没有奇点时的性质。在这种情况下，如果我们采用 Calabi-Yau 簇的有限覆盖，它会经历 Drum 分解，特别是具有完整 SU 的部分变成射影代数簇。如果存在奇点，且切锥不平坦，则完整性为 SU 或 Sp，因此 Calabi-Yau 流形也具有相同的完整性。即使在这种情况下，我们也证明了如果完整性是 SU，它就成为射影代数簇。证明方法与没有奇点时相同，但奇点的存在使其变得更加复杂。首先，我们消除奇点并使用非紧流形的加权 Sobolev 空间。因此，我们利用调和积分理论来证明博赫纳消失定理。最后利用Grauert嵌入定理（小平定理的解析空间版本）完成证明。接下来，我们研究具有锥形奇点的 Calabi-Yau 流形的变形。如果不存在奇点，那么卡拉比-丘流形复杂结构的变形就没有障碍（Bogomolov--Tian--Todorov定理）。同样，可以证明，即使存在奇点，复杂结构的变形也不存在障碍。让我们回顾一下博戈莫洛夫-田-托多罗夫定理的证明。一个证明使用代数几何的 T1 升力。如果不存在奇点，从（普通）调和积分理论可以立即看出 Dolbo 上同调的谱级数退化，由此可以创建 T1 升力。如果存在奇点，调和积分理论就会变得更加复杂，但仍然可以实现同样的效果。微分几何还有另一个证明。如果没有奇点，就有Goto的一般理论（包括Calabi-Yau、HyperKahler、G2和Spin(7)的变形理论）。当存在奇点时，这也可以推广。

项目成果

Generalized Thomas--Yau Uniqueness Theorems

广义托马斯-丘唯一性定理

• 发表时间: 2023
• 期刊: Birational Geometry, Kahler-Einstein Metrics and Degenerations. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics
• 作者: Cho Joseph;Leschke Katrin;Ogata Yuta;Ogata Yuta;緒方 勇太;Yanagishita Masahiro;柳下 剛広;Yohsuke Imagi
• 通讯作者: Yohsuke Imagi

Glued Calabi--Yau Metrics on Nodal 3-folds

胶合卡拉比 - 节点 3 倍的 Yau 度量

• 发表时间: 2022
• 作者: Cho Joseph;Leschke Katrin;Ogata Yuta;Ogata Yuta;緒方 勇太;Yanagishita Masahiro;柳下 剛広;Yohsuke Imagi;Y Imagi;Yohsuke Imagi;Yohsuke Imagi
• 通讯作者: Yohsuke Imagi

Singularities of Special Lagrangian Submanifolds

特殊拉格朗日子流形的奇点

• 发表时间: 2022
• 作者: Cho Joseph;Leschke Katrin;Ogata Yuta;Ogata Yuta;緒方 勇太;Yanagishita Masahiro;柳下 剛広;Yohsuke Imagi;Y Imagi;Yohsuke Imagi
• 通讯作者: Yohsuke Imagi

Nearby Special Lagrangians

附近的特殊拉格朗日量

• 发表时间: 2021
• 作者: Cho Joseph;Leschke Katrin;Ogata Yuta;Ogata Yuta;緒方 勇太;Yanagishita Masahiro;柳下 剛広;Yohsuke Imagi;Y Imagi;Yohsuke Imagi;Yohsuke Imagi;今城洋亮
• 通讯作者: 今城洋亮