１階偏微分方程式系のスペクトル解析の新展開：ディラック、マックスウェルを超えて

一阶偏微分方程组谱分析的新进展：超越狄拉克和麦克斯韦

基本信息

批准号：
18K03340
负责人：
楳田登美男
金额：
$ 2.83万
依托单位：
University of Hyogo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の目的は、新しいクラスの1階偏微分方程式系に対して、極限吸収原理、スぺクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式を導くことである。本研究で取り扱う1階偏微分方程式系は、これまでのスペクトル解析学では未開拓のクラスであり、ここに述べた3つの目的のうち, 一つでも導出に成功すれば、十分な成果になると考えている。Dirac方程式、Maxwell方程式の両方の一般化となる1階偏微分方程式系を考察する点が本研究のポイントであり、この観点から2018 年度は、Dirac方程式、Maxwell方程式の両方のスペクトル解析の過去の研究論文を見直し、本研究の考察対象が1階偏微分方程式系の新しいクラスであることを確認した。これに基づいて、2019年度は、Dirac方程式の解に対して平滑化評価式の導出の研究に歩を進めて成功した。Dirac作用素に対する極限吸収原理そのものは1970年代に見出されており、現在では新しい成果ではないが、従前の研究は平滑化評価式に繋がらない形の極限吸収原理であった。そこで、本研究では異なるアプローチを採用した、即ち、Dirac作用素のスペクトル関数の評価に基づいて極限吸収原理を確立し、次いで, スペクトル密度へと研究を進め、最終的にDirac方程式に対する平滑化評価式を導出した。2020年度はMaxwell方程式に対しても、本研究の手法が通用することを確認し、Maxwell 方程式に対しても極限吸収原理、スぺクトル密度関数のヘルダー連続性、及び平滑化評価式に関する成果をあげた。本来の最終年度である2021年度は、Dirac方程式、Maxwell方程式の両方の直接的な一般化である斉次-非斉次型強伝播系に対して極限吸収原理の証明に成功し, スぺクトル密度関数の考察を行った。延長１年目の2022年度は斉次型強伝播系に対して平滑化評価式を導いた。

本研究的目的是推导一类新的一阶偏微分方程组的极限吸收原理、谱密度函数的Hölder连续性以及平滑评估公式。本研究中处理的一阶偏微分方程系统是迄今为止谱分析中尚未探索的一类，如果我们成功地导出这里提到的三个目标中的一个，我认为这将是一个足够的结果。本研究的重点是考虑一阶偏微分方程组，它是狄拉克方程和麦克斯韦方程的推广。在审阅研究论文后，我们确认本研究的主题是一类新的一类方程。阶偏微分方程组。基于此，2019年我们又着手研究推导狄拉克方程解的平滑评价公式，并取得了成功。狄拉克算子的极限吸收原理本身是在 20 世纪 70 年代发现的，今天并不是一个新结果，但之前的研究主要集中在与平滑评估公式无关的形式上的极限吸收原理。因此，在本研究中，我们采取了不同的方法，即在狄拉克算子的谱函数评估的基础上建立了极限吸收原理，然后对谱密度进行了研究，最后发展了平滑评估推导了狄拉克方程的公式。 2020年，我们确认了本研究的方法适用于麦克斯韦方程组，并且我们还将给出关于极限吸收原理、谱密度函数的Hölder连续性以及麦克斯韦方程组的平滑评估公式的结果。 2021年，即最初的最后一年，我们成功证明了均匀-非均匀强传播系统的极限吸收原理，这是狄拉克方程和麦克斯韦方程的直接推广，并且我们考虑了密度函数。在2022财年，也就是延期的第一年，我们推导出了同质强传播系统的平滑评估公式。