曲線がなす距離空間におけるエネルギー勾配流の構成とその応用

曲线距离空间能量梯度流的构建及其应用

基本信息

批准号：
19F19710
负责人：
岡部真也
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-11-08 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は弾性エネルギーに対するH2勾配流の定常解への完全収束について研究を実施した。L2勾配流の場合には、パラメータの変換など何らかの修正を加えた上でないと定常解への完全収束を示すことができない。その要因の一つとして、完全収束を示す際に必要となる勾配不等式をそういった変換を加えることなく示すことが困難であることが挙げられる。本研究において考察したH2勾配流の場合にはH2(ds)に適当な距離を定義した距離空間が完備となることを利用して、何の変換も加えることなく、勾配不等式を示すことに成功した。この結果を基に定常解への完全収束を証明し、論文として纏め学術誌に投稿中である。弾性エネルギーに対するH2勾配流の研究は幾何学的汎関数に対する高階Sobolev勾配流を構成せんとする目的の第一歩と位置付けることができる。実際、上記の研究を基盤として、様々な応用を展開している。まず、閉曲線の長さ汎関数に対するH1勾配流に曲線が囲む面積を一定に保つという束縛を付した幾何学的発展方程式を考案した。現在、我々とG. Wheeler氏、V. Wheeler氏との共同研究として研究を継続しているところである。また、弾性エネルギーにメビウス汎関数を加えた汎関数に対するH2勾配流についても研究を展開している。この汎関数に対するL2勾配流については幾つかの研究が既になされているが、3/2階放物型と分類される型の方程式となるため、その解析は容易ではない。本研究は、新しい観点による勾配流を構成することによって、弾性結び目について動的な考察を与えることも目指すものである。以上のように、当該年度に行なった研究は、幾何学的汎関数に対する高階Sobolev勾配流の研究のきっかけを作るに至った、学術的に価値のあるものであるといえる。

今年，我们进行了H2梯度流完全收敛到弹性能稳定解的研究。在 L2 梯度流的情况下，除非进行一些修改（例如参数转换），否则无法完全收敛到稳定解。原因之一是，在不添加此类变换的情况下，很难显示出完全收敛所需的梯度不等式。在本研究中考虑的 H2 梯度流的情况下，我们利用 H2(ds) 具有定义了适当距离的完整度量空间这一事实，成功地显示了梯度不等式，而无需添加任何变换。基于这些结果，我们已经证明完全收敛到稳定的解决方案，并正在编写一篇论文并将其提交给学术期刊。关于弹性能的H2梯度流的研究可以被视为构建关于几何泛函的高阶Sobolev梯度流的第一步。事实上，基于上述研究正在开发各种应用。首先，我们设计了闭合曲线长度泛函的几何演化方程，其中 H1 梯度流受到约束以保持曲线包围的面积恒定。目前，我们正在与 G. Wheeler 先生和 V. Wheeler 先生联合开展这项研究。我们还在研究泛函的 H2 梯度流，将莫比乌斯泛函添加到弹性能中。已经对该泛函的 L2 梯度流进行了一些研究，但其分析并不容易，因为该方程被归类为 3/2 阶抛物线型。本研究还旨在通过从新的角度构建梯度流来动态考虑弹性结。如上所述，当年的研究可以说是具有学术价值的，因为它引导了几何泛函的高阶Sobolev梯度流的研究。