内在する時間遅れ構造とその抽出：時間遅れ構造を用いたダイナミクス研究の展開と発展

固有时滞结构及其提取：利用时滞结构进行动力学研究的发展与发展

基本信息

批准号：
19K14565
负责人：
西口純矢
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

未知関数の時間微分が未知関数の過去の状態にも依存するような微分方程式を遅延微分方程式と呼ぶ．自励系の線型遅延微分方程式は非線型の遅延微分方程式の平衡点における線型化により得られる．したがって，線型遅延微分方程式の零解の漸近安定性を調べることは，それ自身興味あるだけでなく，非線型問題の理解という観点からも重要である．「平衡点における線型化方程式の零解が漸近安定ならば，元の非線形方程式も平衡点近傍で局所漸近安定である」という主張は「線型化安定性の原理」として知られている．これは上に述べた非線型問題の理解という観点では，考察すべき第一ステップと言える．線型化安定性の原理の証明には，常微分方程式の場合は定数変化法公式を用いることができる．これは，解を線型部分と外力に起因する部分に分ける公式である．この公式は，常微分方程式の場合には平衡点における不変多様体定理の証明に用いることができる．したがって，定数変化法公式は常微分方程式の力学系理論において重要な手法の１つとなっている．遅延微分方程式に対しても，定数変化法公式はこの約60年にわたって発展してきている．しかしながら，遅延微分方程式に対しては初期条件として初期履歴関数が必要となることから，その取り扱いは本質的に無限次元である．このことが遅延微分方程式の研究のさまざまな困難さを生み出す要因となっている．本研究では，このような困難さを乗り越えるために線型遅延微分方程式に対する「軟解」概念を導入した．これにより，遅延微分方程式の解空間は無限次元であるにもかかわらず，ある種の有限次元性に着目することで基本行列解の異なる定義を与えた．また，それに基づいた定数変化法公式を得て，それを線型化安定性の原理，およびポアンカレ・リャプノフの定理の証明に応用した．

未知函数的时间导数也取决于未知函数的过去状态的微分方程称为时滞微分方程。自激系统的线性时滞微分方程是通过将非线性时滞微分方程在平衡点处线性化得到的。因此，研究线性时滞微分方程零解的渐近稳定性不仅本身很有趣，而且从理解非线性问题的角度来看也很重要。 “如果线性化方程在平衡点处的零解是渐近稳定的，则原始非线性方程在平衡点附近也是局部渐近稳定的”这一断言被称为“线性化稳定性原理”。这可以说是从理解上述非线性问题的角度考虑的第一步。为了证明线性化稳定性的原理，可以在常微分方程的情况下使用常变分公式。这是一个将解分为线性部分和外力引起的部分的公式。该公式可用于证明常微分方程情况下平衡点处的不变流形定理。因此，常变分公式是常微分方程动力系统论的重要方法之一。对于时滞微分方程，恒定变分公式在过去 60 年中得到了发展。然而，由于时滞微分方程需要初始历史函数作为初始条件，因此它们的处理本质上是无限维的。这就是研究时滞微分方程出现各种困难的原因。在这项研究中，我们向线性时滞微分方程引入了“软解”的概念来克服这些困难。因此，尽管时滞微分方程的解空间具有无限维数，但我们通过关注某种有限维数给出了基本矩阵解的不同定义。我们还以此为基础得到了常变分公式，并将其应用于线性化稳定性原理和Poincaré-Lyapunov定理的证明中。