Investigation of operator algebras associated to number fields

与数域相关的算子代数的研究

基本信息

批准号：
19K14551
负责人：
武石拓也
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Kyoto Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K14551/
关键词：
作用素環論代数体グラフC*-環 KMS状態 K-理論

项目摘要

Bost--Connes系に端を発する数論由来のC*-環を本研究では扱っている．昨年３月に発表した論文（C. Bruceと共著）では，代数体の乗法群の有限アデール環への作用から接合積C*-環を構成し，そのC*-環はもとの代数体を完全に憶えている，という剛性定理を証明した．このC*-環はArledge--Laca--Raeburnが扱ったことのあるC*-環であり，非常に単純な構成法で得られるものであったが，剛性定理が示されたことで研究する価値のあるC*-環であることが分かったと言える．Bost--Connes 系や半群C*-環からこのC*-環に至るまで，数論由来のC*-環は，そのほとんどが有限アデール環やそれに近い対象から構成されている．有限アデール環を全アデール環に置き換えたらどうなるのか，というのは非常に自然な疑問である．９月に発表した論文（C. Bruceと共著）ではこの問題を扱っている．結論としては，代数体の乗法群の全アデール環への作用から接合積C*-環を構成してもなお，そのC*-環はもとの代数体を完全に憶えているという，全く同じ形の剛性定理が成り立つ．このC*-環の原始イデアル空間はもとの代数体の素点全体と自然な対応関係を持つが，原始イデアル空間の位相構造が面白く，素点全体の冪集合とイデール類群が奇妙なくっつき方をした形をしている．原始イデアル空間の決定は９月の論文の１つ目の主定理であり，Laca--Raeburnの結果の一般化である．２つ目の主定理では，素点が実であるか，虚であるか，有限であるかを，作用素環的K-理論のある境界準同型の全射性・単射性による特徴付けを与えている．この２つの主定理の帰結として，昨年３月の論文に帰着する形で剛性定理が示される．その他，一昨年度および昨年度に発表したグラフ環のKMS状態に関する２本の論文（一昨年度のものはC.Bruceと共著，昨年度のものは単著）はどちらもJ. Operator Theoryにアクセプトされた．

这项研究涉及源自数论的 C* 代数，它起源于 Bost-Connes 系统。在去年 3 月发表的一篇论文（与 C. Bruce 合着）中，我们根据代数域的乘法群在有限 Adele 环上的作用构造了一个联积 C*-代数，并且该 C*-代数是原始代数域，我们已经证明了刚性定理，它表明我们可以完全记住。这个C*代数是Arledge-Laca-Raeburn研究过的C*代数，可以通过非常简单的构造方法获得，但是在刚度定理被证明之后，我们可以说我们开始了研究。发现 C* 代数值得学习。从Bost--Connes系统和半群C*代数到这个C*代数，大多数由数论导出的C*代数都是由有限Adele代数和接近它们的对象组成的。一个非常自然的问题是，如果我们用完整的阿黛尔代数替换有限的阿黛尔代数，会发生什么。 9 月发表的一篇论文（与 C. Bruce 合着）讨论了这个问题。结论是，即使我们根据代数域的乘法群对所有 Adele 代数的作用构造一个联积 C* 代数，C* 代数仍然完全记住原始代数域，同样的刚度定理成立。这个C*-代数的本原理想空间与原代数域的所有素点有着天然的对应关系，但是本原理想空间的拓扑结构很有趣，所有素点与理想类群的幂集它有一个奇怪的角度形状。原始理想空间的确定是九月份论文的第一个主要定理，是Laca-Raeburn结果的推广。第二个主要定理通过算子代数 K 理论的边界同态的满射性和单射性来表征素点是实点、虚点还是有限点。作为这两个主要定理的结果，刚度定理在去年三月发表的一篇论文中提出。另外，前年和前年发表的两篇关于图环的KMS状态的论文（一篇与C. Bruce合着，去年一位作者）均被J. Operator Theory接收。