総実代数体上への志村谷山予想の一般化とアーベル曲面の保型性への応用

志村谷山猜想在全实代数域上的推广及其在阿贝尔曲面自同构中的应用

基本信息

批准号：
19K14514
负责人：
吉川祥
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Gakushuin University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

２０２２年度も引き続き楕円曲線の保型性（すなわち、楕円曲線のL関数が、あるクラスのモジュラー形式や保型表現に付随するL関数と一致するという性質）に関する研究を行った。特に、Fを実二次体Kの円分Z_p拡大の部分体とした場合に、F上の楕円曲線が保型性を持つかどうかを考察した。より具体的には、Kとpに関して明示的な条件を与え、その条件が満たされるならば、上記のような任意のFに対してF上のすべての楕円曲線が保型的であることを導いた。このようなFは有理数体の総実アーベル拡大である。有理数体の総実アーベル拡大上の楕円曲線の保型性は私自身が以前研究していたが、今回の結果により、以前の成果では取り扱えなかった一部のFについてもF上の楕円曲線の保型性を導くことが出来た。Fが有理数体の円分Z_p拡大に含まれる場合、F上の楕円曲線の保型性はJack Thorne氏によって既に証明されていた。このThorne氏の結果を踏まえ、Xinyao Zhang氏（東京大学）はFが実二次体の円分Z_p拡大の場合を考察し、部分的な結果を得ている。上記の私の実績は、Zhang氏の結果を踏まえて得られたもので、氏の結果を拡張するものである。

2022年，我们继续研究椭圆曲线的自同构（即椭圆曲线的L函数与某类模形式或自同构表示相关的L函数相匹配的性质）。特别地，我们考虑当 F 是实二次域 K 的圆形 Z_p 扩展的子域时，F 上的椭圆曲线是否具有自同构。更具体地说，我们给出 K 和 p 的显式条件，如果满足该条件，我们可以说对于上述任何 F，F 上的所有椭圆曲线都是自守的。这样的 F 是有理数域的全实阿贝尔扩张。我之前研究过有理数域的全实阿贝尔扩张上的椭圆曲线的守恒性质，但这个结果表明，对于一些在以前的结果中无法处理的F，椭圆曲线的守恒性也是可能的。能够推导出该模式。 Jack Thorne 已经证明，如果 F 包含在有理数域的圆形 Z_p 扩展中，则 F 上的椭圆曲线是单态的。 Xinyao Zhang（东京大学）在Thorne先生的基础上，考虑了F是实二次场的圆形Z_p延伸的情况，并得到了部分结果。我的上述结果是基于并扩展了张的结果。