L関数の零点分布と中心値の研究

L函数零点分布及中心值研究

• 批准号: 19K14510
• 负责人: 宗野 惠樹
• 金额: $ 1.25万
• 依托单位: Ehime University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2020-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K14510/
• 关键词: ディリクレL関数; 零点密度予想; ゼータ関数; L関数; リーマン予想

ディリクレL関数の積分平均と零点密度評価の関連性に関する研究を行った.これまで, リーマンゼータ関数やディリクレL関数など数論的な意味を持つL関数の零点密度の評価については半世紀以上にわたり様々な研究者により調べられてきたが, そのほとんどの研究ではL関数の絶対値のベキの中心線上の積分平均に関する結果が用いられている. たとえばリーマンゼータ関数の零点密度評価では, Inghamによる4乗平均の漸近公式やHeath-Brownによる12乗平均の評価などが利用される. リーマンゼータ関数やディリクレL関数の中心線上のベキ乗平均の漸近挙動に関してはランダム行列理論などに基づく予想があるが, 高次のベキの場合はその予想は未解決である.そこで今回の研究では, 自然数kに対しディリクレL関数の2k乗平均が予想通りの大きさになると仮定した上で, ディリクレL関数の零点密度評価がどの程度改善できるかを調べた. 研究には積分平均の仮定の他, Halasz-Montgomeryの不等式, Huxleyの鏡映原理, ディリクレ多項式の平均に関するHeath-Brownの評価, Bourgainによる零点を組み分けする方法などを利用した. これにより, 高次ベキ平均に関する予想を仮定するとディリクレL関数の零点密度に関して期待されている何種類かの評価が成り立つ範囲が, これまでに比べある程度まで拡張できることが証明できた. また, 積分平均の予想を仮定する方法による改善の限界を明らかにした.これらの結果は1本の論文にまとめ, 海外の雑誌に投稿中である.

我们对Dirichlet L函数的积分平均值与零密度评价之间的关系进行了研究。迄今为止，半个多世纪以来，人们对具有数个L函数的零密度评价进行了研究。理论意义，例如黎曼zeta函数和狄利克雷L函数已经被许多研究人员研究过，但这些研究大多数使用关于L函数绝对值幂的中心线上的积分平均的结果。例如，在评估黎曼zeta函数的零点密度时，使用 Ingham 的 4 次方均值渐近公式和 Heath-Brown 的 12 次方均值评估，关于黎曼 zeta 函数和 Dirichlet L 函数的中心线上的幂均值的渐近行为，基于随机矩阵进行预测。然而，在更高幂的情况下，这个猜想尚未得到解决，因此，在本研究中，我们假设 Dirichlet L 函数的 2k 次幂均值与自然数 k 的预期一样大，并且然后我们研究了Dirichlet L函数的零点密度评估可以改进多少。除了积分平均的假设之外，研究还包括Halasz-Montgomery不等式、Huxley反射原理、Dirichlet平均值的Heath-Brown评估多项式，我们使用了Bourgain的零点分组法等。结果，假设关于高阶功率平均值的猜想，我们能够证明，与过去相比，关于狄利克雷L函数的零密度所期望的几种类型的评估的范围可以在一定程度上扩大。这些结果已总结在一篇论文中，并正在提交给海外期刊。

项目成果

The second moment of quadratic Dirichlet L-functions

二次 Dirichlet L 函数的二阶矩

• DOI: 10.1016/j.jnt.2019.06.011
• 发表时间: 2024-09-14
• 期刊: Journal of Number Theory
• 影响因子: 0.7
• 作者: Keiju Sono

ゼータ関数の零点密度について

关于zeta函数的零点密度

• 发表时间: 2019
• 作者: 宗野惠樹

Simultaneous nonvanishing of Dirichlet L-functions and Hecke-Maass L-functions in the critical strip

临界带中 Dirichlet L 函数和 Hecke-Maass L 函数同时不为零

• DOI: 10.5186/aasfm.2019.4464
• 发表时间: 2019
• 作者: Keiju Sono

Simultaneous nonvanishing of Dirichlet L-functions and Hecke-Maass L-functions in the critical strip

临界带中 Dirichlet L 函数和 Hecke-Maass L 函数同时不为零

• DOI: 10.5186/aasfm.2019.4464
• 发表时间: 2019
• 作者: Keiju Sono