Finite element methods for nonlinear partial differential equations on curved domains

弯曲域上非线性偏微分方程的有限元方法

• 批准号: 19K14590
• 负责人: 剱持 智哉
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K14590/
• 关键词: Stokes方程式; 有限要素法; 不連続Galerkin法; 最大正則性; 非線形偏微分方程式; 構造保存数値解法; 線形偏微分方程式; 数値解析; 応用数学; 楕円型方程式; 放物型方程式

今年度は，なめらかな領域における非定常Stokes方程式，および抽象発展方程式に対する不連続Galerkin法による時間離散化について研究し，一定の成果を得た．Stokes方程式とは，流体力学に現れる偏微分方程式であり，Navier--Stokes方程式の線形化問題として知られている．この方程式を有限要素法によって離散化した問題に対し，リゾルベント評価と最大正則性と呼ばれる不等式評価について研究した．これらの不等式は，これまで知られていなかった評価である．これらの成果は，対応する非線形問題であるNavier--Stokes方程式に対する数値解析へ応用できると期待される．得られた成果は論文として投稿し，現在査読中である．不連続Galerkin法による時間離散化法とは，時間発展する偏微分方程式に対して，時間変数に関するGalerkin法に基づく離散化手法であり，高次精度化が容易な手法である．特に，放物型方程式に対して適用されることが多い手法である．この手法に対して，最大値ノルムによる誤差評価と，離散版の最大正則性の不等式評価を得た．類似の評価はこれまでにも知られていたが，我々が得た評価は，これまで知られていた評価よりもよりシャープな (かつbest possibleな) 評価となっている．今後，非線形偏微分方程式に対する数値解析へ応用できると期待される．この成果については現在論文執筆中である．

今年，我们利用间断伽辽金法研究了光滑区域非定常Stokes方程和抽象演化方程的时间离散化，取得了一定的成果。斯托克斯方程是流体力学中出现的一个偏微分方程，被称为纳维-斯托克斯方程的线性化问题。对于用有限元法离散该方程的问题，我们研究了求解评估和称为最大正则性的不等式评估。这些不平等是以前未知的评估。这些结果有望应用于相应的非线性问题——纳维-斯托克斯方程的数值分析。获得的结果已作为论文提交，目前正在接受同行评审。使用间断伽辽金法的时间离散化方法是基于伽辽金法对时间演化偏微分方程的时间变量进行离散化的方法，是一种能够轻松实现高阶精度的方法。特别是，该方法经常应用于抛物线方程。对于该方法，我们使用最大值范数获得了误差评估，并获得了离散版本最大正则性的不等式评估。类似的评估在过去已经为人所知，但我们获得的评估比以前已知的更尖锐（并且可能是最好的）评估。预计该方法今后将应用于非线性偏微分方程的数值分析。我们目前正在写一篇关于这一结果的论文。

项目成果

$L^p$-resolvent estimate for finite element approximation of the Stokes operator

Stokes 算子有限元近似的 $L^p$ 解析估计

• 发表时间: 2022
• 作者: Y. Satake;M. Oozawa;T. Sogabe;Y. Miyatake;T. Kemmochi;S.-L. Zhang;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;Tomoya Kemmochi;Tomoya Kemmochi
• 通讯作者: Tomoya Kemmochi

Numerical Analysis of the Allen-Cahn Equation with Coarse Meshes

粗网格Allen-Cahn方程的数值分析

• 发表时间: 2019
• 期刊: J. Math. Res. Appl.
• 作者: K. Nakano;T. Kemmochi;Y. Miyatake;T. Sogabe;S.-L. Zhang;Tomoya Kemmochi
• 通讯作者: Tomoya Kemmochi

不連続Galerkin時間離散化手法による離散勾配法の高精度化

利用间断伽辽金时间离散法提高离散梯度法的精度

• 发表时间: 2021
• 作者: Y. Satake;M. Oozawa;T. Sogabe;Y. Miyatake;T. Kemmochi;S.-L. Zhang;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;Tomoya Kemmochi;Tomoya Kemmochi;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉
• 通讯作者: 剱持智哉

Structure-preserving numerical methods for constrained gradient flows of planar curves

平面曲线约束梯度流的结构保持数值方法

• 发表时间: 2020
• 作者: Y. Satake;M. Oozawa;T. Sogabe;Y. Miyatake;T. Kemmochi;S.-L. Zhang;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;Tomoya Kemmochi;Tomoya Kemmochi;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;菅徹;Tomoya Kemmochi
• 通讯作者: Tomoya Kemmochi

Scalar auxiliary variable approach の紹介とその拡張

标量辅助变量方法及其扩展简介

• 发表时间: 2019
• 作者: Kan Toru;Magnanini Rolando;Onodera Michiaki;剱持智哉
• 通讯作者: 剱持智哉