境界付き多様体のMorse理論と, そのFloer理論への応用

有界流形的莫尔斯理论及其在弗洛尔理论中的应用

基本信息

批准号：
19K03495
负责人：
赤穂まなぶ
金额：
$ 1.83万
依托单位：
Tokyo Metropolitan University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

閉シンプレクティック多様体のLagrange部分多様体のFloerホモロジーは、あるループ空間上のMorseホモロジーと解釈することができる。これまで本研究代表者は、ある非コンパクトなシンプレクティック多様体におけるLagrange部分多様体のFloer理論を通じて、境界付き多様体のMorse理論の研究を行ってきた。当該年度は、シンプレクティック幾何にMorse理論が現れる状況として、主にシンプレクティックトーリック多様体とPolygon空間の2つの場合の周辺について調べた。シンプレクティックトーリック多様体とは実トーラスの作用とその作用に関する運動量写像を持つシンプレクティック多様体であり、その運動量写像を用いてMorse関数を構成することができる。また、シンプレクティックトーリック多様体は非斉次座標に関して複素共役を取る操作により反シンプレクティック対合写像を持ち、その対合写像の固定点全体はLagrange部分多様体となる。Polygon空間とはシンプレクティックトーリック多様体に似た性質を持つシンプレクティック多様体であり、稠密な開集合上で実トーラスの作用と運動量写像を持つ。また、自然な反シンプレクティック対合写像を持ち、その固定点全体はLagrange部分多様体となる。これらシンプレクティックトーリック多様体とPolygon空間については多くの研究があり、例えばHausmannとKnustonによりPolygon空間とその対合写像の固定点全体からなるLagrange部分多様体のコホモロジー環などが計算されている。当該年度はまだこれらのテーマに着手したばかりで飛躍的に新しい成果は得られていないが、シンプレクティック幾何においてMorse理論が具体的に現れる非常に重要な場面として注目している。

闭辛流形的拉格朗日子流形的弗洛尔同调可以解释为特定环空间上的莫尔斯同调。到目前为止，主要研究者一直在通过Floer的某个非紧辛流形上的拉格朗日子流形理论来研究Morse的有界流形理论。今年我们主要研究了莫尔斯理论在辛几何中出现的两种情况：辛复曲面流形和多边形空间。辛复曲面流形是具有实环面作用和与该作用相关的动量图的辛流形，并且可以使用动量图构造莫尔斯函数。此外，辛复曲面流形通过对非齐次坐标取复共轭而具有反辛配对图，并且该配对图的所有不动点都成为拉格朗日子流形。多边形空间是一个辛流形，其性质与辛复曲面流形相似，并且具有稠密开集上真实环面的作用和动量映射。它还具有自然的反辛配对图，并且其所有不动点都是拉格朗日子流形。对于这些辛复曲面流形和多边形空间已有许多研究；例如，Hausmann 和 Knuston 计算了由多边形空间的所有不动点组成的拉格朗日子流形的上同调环及其成对映射。尽管我们今年才刚刚开始研究这些主题，还没有取得任何引人注目的新成果，但我们正在将其作为莫尔斯理论在辛几何中具体出现的一个非常重要的场景来关注。