Study of Galois representations of Kummer-faithful fields and their moduli

库默忠实域及其模的伽罗瓦表示研究

基本信息

批准号：
19K03397
负责人：
田口雄一郎
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

2022年度に於いては、クムマー忠実体の分岐理論的特徴づけに関する研究（小関祥康氏との共同研究）をさらに発展させた。先の研究では、代数体K上の半アーベル多様体Aの等分点の群A[p^m]を（Aと素数pを動かしつつ）基礎体Kに添加した拡大のクムマー忠実性を証明したが、新しい研究では、さらに大きい拡大として、Mordell-Weil群A(K)のp^m倍写像による逆像を添加した体のクムマー忠実性を証明した（論文未発表）。さらに、この様な体上のMordell-Weil群は興味深い性質を持つ事も判明した。即ち、それを捻れ部分群で割った商は、無限階数（Qとテンソルしたものが無限次元）であり、可除部分群が自明であるが、自由アーベル群ではない。この様な性質を有する「ほどほどに大きい代数体」の例が発見されたのは初めてではないかと思われる。さらに我々は、博士課程の学生である浅山拓哉氏と共同で、これらの結果の函数体類似を追求した。それは或る意味（クムマー忠実性の類似としての）「アルティン=シュライヤー忠実性」の概念にも通じる考察である。その過程で我々は、ドリンフェルト加群のモーデル=ヴェイユ群の可除性の研究に至った。これについて、或る程度の成果は得られており、例えば一つのドリンフェルト加群のP冪等分点（その冪は有限）の座標を、Pを全ての素イデアルに亘って動かして添加して得られる拡大体上のモーデル=ヴェイユ群の可徐部分は自明である。この結果は浅山氏により論文に纏められ、雑誌に投稿された。さらに、函数体の文脈では、Jardenらにより考察された様な、Kの分離閉包の、幾つかの自己同型で生成される正規部分群による固定部分体のクムマー忠実性を考察した。この文脈に於いては決定論的な結果は得られないが、確率論的な結果（ガロア群の直積の中の測度0の部分集合を除き成立する結果）が得られている。

2022年，我们进一步开展了库默忠诚实体分叉理论表征的研究（与 Yoshiyasu Koseki 联合研究）。在之前的研究中，我们证明了一个扩展的 Kummer 保真度，其中代数域 K 上的半阿贝尔簇 A 的等分点群 A[p^m] 被添加到基本域 K（同时移动 A然而，在一项新的研究中，作为更大的扩展，我们通过 Mordell-Weil 群 A(K) 的 p^m 折叠映射添加逆像来证明场的 Kummer 保真度。）（未发表的论文）。此外，人们发现此类物体上的莫代尔-韦尔群具有有趣的特性。即除以扭曲子群的商具有无限阶（具有Q的张量具有无限维数），可整除子群是明显的，但它不是自由阿贝尔群。这被认为是第一次发现具有此类性质的“中等大代数域”的例子。此外，我们与博士生 Takuya Asayama 合作对这些结果进行了功能场类比。从某种意义上说，这种考虑也导致了“Altin-Schreyer 保真度”的概念（与 Kummer 保真度的类比）。在此过程中，我们研究了 Drinfeldt 模的 Mordell-Weil 群的可分性。在这方面已经取得了一些结果，例如，通过将 P 在所有素理想上移动，将一个 Drinfeldt 模的 P 幂分界点（幂是有限的）的坐标相加。得到的扩展域是显而易见的。浅山将研究结果总结在一篇论文中，并提交给了一家期刊。此外，在函数域的背景下，我们考虑了由 K 的析取闭包的一些自同构生成的正则子群对固定子域的 Kummer 保真度，正如 Jarden 等人所考虑的那样。在这种情况下，我们无法获得确定性结果，而是概率性结果（除了伽罗瓦群的直积中测度为 0 的子集之外都成立的结果）。