トーリック多様体とカスプ特異点の研究

环面流形和尖点奇点的研究

基本信息

批准号：
19K03393
负责人：
石田正典
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の主な対象であるトーリック型カスプ特異点つまり土橋カスプ特異点は，格子点の指定された実空間の開凸錐に離散線形群が格子点集合を保存するように作用していて，その開凸錐の分割で多面錐の集合である扇がいくつかの条件を満たす場合にトーリック多様体の理論を応用して構成される孤立特異点である．これは元々は複素解析的特異点であるが，研究代表者により任意の体上の完備局所環としても構成できることがわかっている．本研究ではカスプ特異点を中心に，様々なトーリック多様体の問題について考察している．研究代表者の石田はこれまでと同様に Vinberg の線形コクセター群の例を与える直角鏡映群について研究を継続している．3 次元で立方体のアフィンコクセター群と立方体の自己同型群の合成群の特殊な部分群の分類と整理を行い，さらに高次元化が可能か考察中である．また 3 つの元で生成されるコクセター群について，これまでと同様にコクセター群から構成される曲面に自由に作用する部分群を見つける計算機プログラムについても，今年度は新たに高性能のパソコンを購入して種々の計算を行っている．またこれを他の場合に適用出来るように改良を試みている．条件をつけていくつかの部分群について実際に計算を行っている．またヒルベルトモジュラーカスプ特異点のものと同様なゼータ関数が，トーリック型カスプ特異点についても開凸錐に含まれる格子点の作用に関する代表元と原点について特性関数のべき乗の和を取って定義される．この和を扇に含まれる多面錐に限った関数を部分ゼータ関数として考えることが出来る．この部分ゼータ関数とカスプ特異点のゼータ関数には容易に得られる関係式はあったが，ゼータ関数については成り立つ特殊値の有理性などはまだ得られていない．

这项研究的主要目标是环面尖点奇点，或称土桥尖点奇点，其中离散线性群的作用是在真实空间中以指定格点保存开放凸锥体上的一组格点。当扇形体是一组多面体锥体，通过分割开凸锥体满足一定条件时，应用复曲面流形理论构造。这原本是一个复杂的分析奇点，但主要研究者发现它也可以被构造为任何域上的完整局部环。在本研究中，我们考虑了各种环面流形问题，重点关注尖点奇点。首席研究员 Ishida 继续他对正交反射群的研究，该群提供了 Vinberg 线性 Coxeter 群的例子。我们正在三个维度上对三次仿射coxeter群和三次自同构群的复合群的特殊子群进行分类和组织，并考虑是否可以进一步增加维度。此外，关于由三个元素生成的考克塞特群，我们在本财年购买了一台新的高性能计算机，用于寻找在由考克塞特群组成的表面上自由作用的子群的计算机程序，正在进行各种计算。我们也在努力改进这一点，以便它可以应用于其他案例。我们实际上是在有条件的几个子组上进行计算。与希尔伯特模尖点奇点相同的 zeta 函数也被定义为环面尖点奇点，通过取原点的特征函数和开放凸锥中包含的格点的作用的代表元素的幂之和。．．该和可以被认为是部分zeta函数，其是仅限于风扇中包含的多面体锥体的函数。虽然这个部分zeta函数和尖点奇点的zeta函数之间可以很容易地得到一个关系表达式，但是对于zeta函数来说特殊值的合理性还没有得到。