代数曲線の族に付随する基本群スキームの比較準同型の研究とその応用

代数曲线族基本群格式的比较同态研究及其应用

基本信息

批准号：
19J00366
负责人：
小田部秀介
金额：
$ 2.83万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19J00366/
关键词：
基本群スキーム正標数線型簡約群スキーム代数曲線 p階数法pモチビックコホモロジー不分岐コホモロジーゼロサイクル有限平坦主束逆ガロア問題埋め込み問題ルートスタック単純群スキーム Cartan型Lie代数一般Kostrikin-Shafarevich予想

项目摘要

主に以下の2つの課題に取り組んだ: (1) 法p不分岐コホモロジーの双有理不変性, (2) 正標数の代数曲線の線型簡約基本群概形の余特殊化写像およびその応用. 以下で課題(1), (2)それぞれにおいて得られた成果について説明をする.(1) 成果として, 法p不分岐コホモロジーの双有理不変性に関する問題の肯定的解決が挙げられる. 正標数p>0の体上定義された固有スムーズ代数多様体が普遍的に自明なゼロサイクルのなすChow群を持つならば, そのコホモロジカルブラウアー群も自明であることが知られていた. その結果をより一般の法p不分岐エタールモチビックコホモロジーにまで拡張することに成功した. 法p不分岐エタールモチビックコホモロジーが一般にホモトピー不変でないことが問題を非自明にしていたが, ある種のtame部分群を考察することによりこれを克服した. 与えた証明は古典的な道具立てだけで構成されている. またコホモロジーの具体的な記述や剰余写像の計算によるものであり, 今回行った計算は有理性問題などの具体的な問題に対しても有用であろうと期待される. さらに関連した問題にも取り組み, 国内の専門家2名と議論を重ね, 一定の理解に辿り着いた.(2) 正標数の代数曲線の線型簡約基本群スキームについて前年度までにある程度成果が得られていたが, モジュライ依存性や数値的不変量の復元についてアフィン代数曲線の場合は不十分な点が多く残されていた. 今年度, 研究を進めたことにより, これらについて大きく理解が進んだ. 特に双曲的代数曲線の場合は, 種数やカスプ点集合の濃度, p階数といった数値的不変量が線型簡約基本群スキームで復元できることがわかった. これについては正標数の幾何的基本群の遠アーベル幾何学に詳しい専門家からの助言によって明らかにすることができた事実である.

我主要研究了以下两个问题：（1）模p无支上同调的双有理不变性，（2）正特征代数曲线的线性约基群轮廓的共特化映射及其应用，下面我们将解释所得到的结果。在任务 (1) 和 (2) 中， (1) 结果包括关于模 p 无支上同调的双有理不变性问题的正解。我们知道，如果在具有正特征 p>0 的域上定义的真光滑代数簇具有普遍平凡的零循环 Chow 群，那么它的上同调 Brower 群也是平凡的，我们成功地将结果扩展到更一般的模态。 p-无支化上同调虽然模态 p-无支化上同调通常不是同伦不变的事实使得这个问题变得不那么简单，我们通过考虑某种类型的驯服子群来克服这个问题，我们给出的证明仅由经典工具组成，它也依赖于上同调的具体描述和余数映射的计算，这是我们这次所做的。对于合理性问题等具体问题会有用。我们也对相关问题进行了研究，经过与国内两位专家的反复讨论，达到了一定程度的认识。（2）尽管我们的研究结果表明，尽管去年关于正特征代数曲线的线性约简基本群方案已经取得了一些成果，但在仿射代数曲线的模相关性和数值不变量的恢复方面仍然存在许多不足。今年，我们对这些问题的理解有了很大的进步，特别是在双曲代数曲线的情况下，我们已经能够理解尖点集的基数，人们发现，诸如 p 阶之类的数值不变量可以使用线性约简基本群方案来恢复，这可以通过熟悉正特征几何基本群的远阿贝尔几何的专家的建议来澄清。这是事实。。