反射的凸多面体を中心とした格子凸多面体の分類理論及び正規性に関する探究

以反射凸多面体为中心的点阵凸多面体分类理论与正规性探讨

基本信息

批准号：
19J00312
负责人：
土谷昭善
金额：
$ 2.83万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究は格子凸多面体の分類問題と正規性に関する問題を，特に反射的凸多面体に関して調べるものである．本年度は特に反射的凸多面体の面の構造について調べた．これまで知られている結果として，任意の格子凸多面体はある反射的凸多面体の面になっている．この結果に注目して以下の問題を考えた．問題：性質Aを持つ任意の格子凸多面体は，性質Aを持つある反射的凸多面体の面となるか．この問題を特に，性質Aとして正規性や非特異性について考えた結果，正しいことが証明できた．この結果の応用として，まず正規ではあるが，正則単模三角形を持たない反射的凸多面体の存在を示すことができる．つまり，特殊な格子凸多面体の例から，同じ特殊な性質を持つ反射的凸多面体を構成することが可能となった．またもう一つの応用として，本研究の最終目標である小田予想「非特異格子凸多面体は正規である」に対して，次のようなことがわかった．定理「小田予想は非特異反射的凸多面体に対して証明すれば十分である．」非特異凸多面体は各次元に無限個存在するが，非特異反射的凸多面体は各次元に有限個しかないため，調べるべき対象が極めて少なくなった．さらにこの定理から，代数幾何学的には，小田予想は「トーリックFano多様体は常に射影的正規である」を示せれば十分であることがわかる．この結果をベルリン自由大学のChristian Haase氏とともに共著論文として現在執筆中である．

本研究研究晶格凸多面体，特别是反射凸多面体的分类问题和正态性问题。今年，我们特别研究了反射凸多面体的表面结构。已知的结果是任何晶格凸多面体都是某些反射凸多面体的面。针对这一结果，我们考虑了以下问题。问题：任何具有属性 A 的晶格凸多面体是否是具有属性 A 的反射凸多面体的一个面？通过考虑这个问题，特别是关于常态性和非奇异性作为属性 A，我能够证明它是正确的。作为该结果的应用，我们可以首先证明存在规则但不具有规则简单三角形的反射凸多面体。换句话说，从特殊晶格凸多面体的例子，现在可以构造具有相同特殊性质的反射凸多面体。作为另一个应用，我们发现了以下关于小田猜想的内容，这是本研究的最终目标：“非奇异点阵凸多面体是正则的。”定理“足以证明非奇异反射凸多面体的小田猜想。”每个维度上有无限多个非奇异反射凸多面体，但在因此，要研究的目标数量变得极少。此外，从这个定理我们可以看出，就代数几何而言，如果我们能够证明“复曲面法诺簇总是射影正态的”，那么小田猜想就足够了。我们目前正在与柏林自由大学的克里斯蒂安·哈斯 (Christian Haase) 共同撰写这些结果。