スペクトル掛け算作用素の有界性とその関数空間論への応用

谱乘算子的有界性及其在函数空间理论中的应用

基本信息

批准号：
19J00206
负责人：
谷口晃一
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

スペクトル掛け算作用素とは, 自己共役作用素のスペクトル分解によって定義される作用素の関数のことである. この作用素はフーリエ掛け算作用素の一般化になっており, 様々な設定で偏微分方程式や関数空間を扱うことを可能にする. 本研究は, この作用素を用いて抽象的な枠組みで関数空間を定義し, 非線形偏微分方程式の理論に応用することを目指している.今年度は, 測度距離空間上における自己共役作用素により定義されるソボレフ空間・ベゾフ空間に関する双線形評価式や各種関数不等式の研究を行った. 自己共役作用素に関して, その熱半群が generalized Gaussian estimates を満たすという仮定を課している. この仮定を満たす自己共役作用素は数多く知られている. 例えば, ディリクレラプラシアン, シュレーディンガー作用素, ラプラス・ベルトラミ作用素, 分数階ラプラシアンなどがある. さらに, 測度距離空間上の消散型波動方程式をスペクトル理論に基づいて研究した. 線形消散型波動方程式の解に対するLp-Lq 評価式を証明し, この結果を応用して, 冪乗型非線形項をもつ消散型波動方程式の小さい初期値に対する時間大域解の存在を示した. 本結果は方程式の主要部が通常のラプラシアンだけではなく, 上記で述べた各種自己共役作用素に置き換えた方程式に対する結果も含んでいる. 現在, 本結果に関する論文を執筆中であり, 海外の学術雑誌に投稿する予定である. 今後は, 測度距離空間上の波動方程式の Lp 評価式の研究に取り組む予定である. この Lp 評価式が確立されれば上述の消散型波動方程式の研究成果を改良することが可能である.

谱乘法算子是由自伴算子的谱分解定义的算子的函数，该算子是傅立叶乘法算子的推广，可用于处理各种设置中的偏微分方程和函数空间。研究旨在使用该算子在抽象框架中定义函数空间，并将其应用于非线性偏微分方程理论。我们研究了由测度度量空间上的自伴算子定义的 Sobolev 空间和 Besov 空间的双线性评估公式和各种函数不等式。关于自伴算子，我们假设它们的热半群满足广义高斯估计。有许多已知的自伴算子。满足这个假设的算子例如有狄利克雷拉普拉斯算子、薛定谔算子、拉普拉斯-贝尔特拉米算子和分数阶拉普拉斯算子。进一步，基于谱理论研究了测度空间上的耗散波动方程，证明了线性耗散波动方程解的Lp-Lq评价公式，并将该结果应用于求解幂律非线性项We。证明了耗散波动方程小初始值的时间全局解的存在性它还包括用上面提到的各种自伴算子替换方程的结果。目前，我正在写一篇关于这个结果的论文，并计划将其提交到海外学术期刊。未来，我将重点关注我们计划研究波动方程的Lp评估公式。如果建立了该Lp评估公式，将有可能完善上述耗散波动方程的研究成果。