Finite type invariants and Milnor invariants for welded string links

焊接字符串链接的有限类型不变量和 Milnor 不变量

基本信息

批准号：
19J00006
负责人：
和田康載
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は、Dabkowski-Sahi不変量と呼ばれる絡み目の不変量を用いて、（ウェルデッド）絡み目に対して4-moveと呼ばれる局所変形に関する研究を行なった。Dabkowski-Sahi不変量は、絡み目補空間の基本群のある商群として定義され、4-moveで不変であるという性質をもつ。この不変量は絡み目を区別するための強力な不変量である。一方で、与えられた二つの絡み目のDabkowski-Sahi不変量が同型か否かを判定することは一般に難しく、その判定法を開発することは重要な課題である。そこで、津田塾大学の宮澤治子氏および早稲田大学の安原晃氏との共同研究で、与えられた絡み目と、自明な絡み目のDabkowski-Sahi不変量が同型であるための必要条件を与えた。そして、与えられた絡み目と自明な絡み目が4-moveで移り合うための必要条件を与えた。これらの結果を絡み目の一般化であるウェルデッド絡み目へ拡張することで、絡み数が0であり、4-moveの有限列で自明な2成分絡み目に移り合えない、2成分ウェルデッド絡み目が存在することを証明した。以上の研究成果は共著論文としてまとめられ、査読付き国際学術雑誌へ現在投稿中である。また、仮想絡み目に対してCF-moveと呼ばれる局所変形に関する研究も行なった。この局所変形は、T. Oikawaにより導入され、仮想結び目に対する結び目解消操作になることが示された。さらに、2成分仮想絡み目のCF-moveによる分類が与えられた。この結果の拡張として、任意の成分数の奇仮想絡み目および概奇仮想絡み目、そして、3成分偶仮想絡み目のCF-moveによる分類を与えた。これにより、3成分仮想絡み目のCF-moveによる完全分類を与えることに成功した。以上の研究成果は単著論文としてまとめられ、査読付き国際学術雑誌へ現在投稿中である。

今年，我们使用称为 Dabkowski-Sahi 不变量的链接不变量对（焊接）链接的称为 4 移动的局部变形进行了研究。 Dabkowski-Sahi 不变量被定义为与链接补空间的基本群的商群，并且具有在 4 次移动中不变的性质。这个不变量是区分链接的强大不变量。另一方面，通常很难确定两个给定链接的 Dabkowski-Sahi 不变量是否同构，开发一种确定方法是一个重要问题。因此，在与津田大学Haruko Miyazawa和早稻田大学Akira Yasuhara的联合研究中，我们提供了给定链接和平凡链接的Dabkowski-Sahi不变量同构的必要条件。然后，我们给出了给定链接和普通链接在 4 步移动中相互转移的必要条件。通过将这些结果扩展到焊接链接（链接的概括），我们可以创建链接数量为 0 且无法在 4 次移动的有限序列中转换为普通二链接链接的二组件焊接链接。这证明链接存在。上述研究成果已汇编成一篇共同撰写的论文，目前正在提交给同行评审的国际学术期刊。我们还对虚拟链接的局部变形（称为 CF-move）进行了研究。这种局部变形是由 T. Oikawa 引入的，并被证明会导致虚拟结的解开操作。此外，还给出了使用CF-move的二元虚拟链接的分类。作为该结果的扩展，我们使用 CF-move 对奇数虚拟链接、近似奇数虚拟链接以及具有任意数量组件的三组件偶数虚拟链接进行分类。结果，我们成功地使用 CF-move 提供了三分量虚拟链路的完整分类。上述研究成果已汇编成一篇单人论文，目前正在提交给同行评审的国际学术期刊。