優臨界・臨界・劣臨界楕円型方程式の解構造の総合的研究

综合研究超临界、临界和亚临界椭圆方程的解结构

基本信息

批准号：
19H01797
负责人：
宮本安人
金额：
$ 10.9万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19H01797/
关键词：
優臨界楕円型方程式臨界楕円型方程式放物型方程式変分的手法モース指数球対称解ジョセフ・ルンドグレン指数擬スケール非線形楕円型方程式非線形放物型方程式優臨界臨界劣臨界特異解変分問題時間局所可解性変分法劣臨界楕円型方程式

项目摘要

(1)[臨界楕円型方程式] 今年度の一番大きな成果は，臨界楕円型方程式の研究であった．具体的な問題は次のとおりである．3次元以上の円環領域における臨界楕円型方程式（Henon方程式）のディリクレ問題の（符号変化解を含む）任意の球対称解を考える．まず，球領域の場合は，Pohozaevの恒等式より正値解が存在しないことが知られている．一方，円環領域の場合は正値解が存在するので，円環の内側の半径を０にする極限が興味深い問題となる．そこで，（正値解に限らない）任意の球対称解のモース指数が，内側の半径を０にする極限でどのようになるかを考察した．この問題のパラメータは，空間次元，方程式の指数，円環の内側と外側の半径，符号変化解の結節領域の数があるが，主結果はこれらのパラメータを用いて極限における解のモース指数を完全に決定した．また，極限を取らない場合（一般の円環領域の場合）は，モース指数の上からと下からの評価を得た．さらに，正値解の場合は，（極限を取らなくても）任意の円環領域でモース指数を決定した．この方面の研究はイタリアのグループが精力的に進めているが，これまで劣臨界の問題が多く扱われ臨界の場合は知られていなかった．(2)[劣臨界楕円型方程式] 円環領域における劣臨界楕円型方程式の球対称解のモース指数に関して，実現可能性が高い研究テーマを発見した．(3)[放物型方程式] 指数関数より大きい増大度を持つ放物型方程式の全領域における初期値問題を考える．非線形項に関する適当な仮定の下で正値特異球対称解を持つが，初期関数がこの正値特異球対称解より大きいか小さいかに応じて，放物型方程式の可解性が異なることを示すことが目標である．このうち，解の存在に関して証明が成功した．今後は非存在の証明を目標とする．そして，特異解が可解性の閾値となっていることを証明したい．

(1)【临界椭圆方程】今年最大的成果是临界椭圆方程的研究。具体问题如下。考虑三维或更多维环形区域中临界椭圆方程（Henon 方程）狄利克雷问题的任意球对称解（包括变号解）。首先，对于球形区域的情况，由Pohozaev恒等式可知，不存在正解。另一方面，在环形区域的情况下，存在正解，因此环形圈的内半径变为0的极限成为一个有趣的问题。因此，我们考虑任何球对称解（不限于正解）在内半径为0的极限内的莫尔斯指数是多少。该问题的参数为空间维数、方程的指数、环面的内外半径以及变号解的节点区域数。主要结果是利用这些参数来计算莫尔斯电码极限解的指数。另外，当不采取限制时(一般圆形区域的情况)，从莫尔斯指数的顶部和底部获得评价。此外，在正确答案的情况下，在任意圆形区域中确定莫尔斯指数（不取极限）。意大利的一个小组大力推进了这一方向的研究，但迄今为止主要解决的是次临界问题，而临界情况尚不清楚。 (2) [亚临界椭圆方程] 我们发现了一个关于亚临界椭圆方程在环形区域球对称解的莫尔斯指数的具有高度可行性的研究主题。 (3) 【抛物型方程】考虑抛物型方程整个域内的初值问题，其增长程度大于指数函数。我们证明，在适当的非线性项假设下，抛物方程具有正奇异球对称解，但抛物方程的可解性根据初始函数是大于还是小于该正奇异球对称解而有所不同。来展示。其中，解决方案存在性的证明是成功的。我未来的目标是证明它不存在。我们想证明奇异解就是可解性阈值。