Unravel higher order critical structures to solutions of nonlinear dispersive and dissipative partial differential equations

解开非线性色散和耗散偏微分方程解的高阶临界结构

基本信息

批准号：
19H00638
负责人：
小川卓克
金额：
$ 28.54万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2020-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

移流拡散方程式の高次元における時間大域的挙動について, 2次モーメントが有限の場合に有限時刻での解の爆発に関する最良と思われる初期条件に対する十分条件を同定し, さらに和久井洋司氏と共に初期2次モーメントが非有界の場合に解が有限時刻で爆発するか, 大域的に存在しても有界にとどまらないことを示した.連立型移流拡散方程式の解の時間大域的挙動の分類と, 有限時刻での解の爆発と集中現象について単独の場合の類似の現象が起こることを黒木場正城氏, 和久井洋司氏らと共に研究した. 特に解の爆発の十分性にまつわるHardy-Littlewood-Sobolevの不等式の最良定数とSobolevの不等式の最良定数とのずれを指摘し, 300次元にいたるまで両者に差があることを数値的に実証した.黒木場正城氏と共同で, 高速拡散型のKeller-Segel方程式の有限時間での解の爆発を,Reny型エントロピーに対するshannonの不等式を用いて証明した. これにより従来空間2次元でのみ知られていた有限時刻爆発を空間高次元に拡張できた. また同氏と共同で,高次元 Keller-Segel 方程式系の緩和時間零極限を考察し, Fujita-Katoの原理が成立する最も単純なBochner空間であるLebesgue-Bochner空間において特異極限を考察し, 初期層の発生を認めた上で, 解のパラメータ無限大における漸近収束を, 熱方程式の最大正則性を適法して証明した. この方法は, 若干の修正を施すことにより, 空間2次元においても有効であり, 同様の収束を得ることが可能となる. その際に2次元方程式の正則性の限界から空間方向に有界平均振動のクラスでの最大正則性を援用する.

关于高维平流扩散方程的时间全局行为，我们确定了初始条件的充分条件，该条件被认为是当二阶矩有限时在有限时间解爆炸的最佳条件，此外与 Yoji Wakui 一起，我们开发了初始二阶模型。我们证明，当矩无界时，解会在有限时间内爆炸，或者即使全局存在，也不会保持有界。解的时间全局行为的分类联立平流扩散方程，我们与Masashiro Kurokiba先生和Yoji Wakui先生一起研究了在爆炸和有限时间内溶液浓度的情况下类似现象的发生，特别是我们研究了关于爆炸充分性的Hardy-Littlewood-Sobolev理论。我们指出了不等式的最佳常数与索博列夫不等式的最佳常数之间的差异，并通过数值证明了两者之间存在高达 300 个维度的差异。与 Masaki Kurokiba 合作，我们使用 Reny 型熵的香农不等式证明了快速扩散 Keller-Segel 方程解在有限时间内的爆炸。这使我们能够将传统上仅在两个空间维度中已知的有限时间爆炸解释为更高的此外，我们与他合作，考虑了高维Keller-Segel方程组的零弛豫时间极限，以及我们考虑 Lebesgue-Bochner 空间中的奇异极限，这是藤田-加藤原理成立的最简单的 Bochner 空间，并且在确认初始层的出现后，我们使用以下公式计算解的无限参数处的渐近收敛性：我们已经成功地证明了该方法的规律性，经过一些修改，该方法在二维空间中也是有效的，并且可以获得类似的收敛性。在此过程中，由于二维方程的规律性限制，我们利用了空间方向有界平均振动类中的最大规律性。