Differential geometric structures on smooth manifolds and Gromov-Hausdorff convergences

光滑流形上的微分几何结构和 Gromov-Hausdorff 收敛性

• 批准号: 19K03474
• 负责人: 服部 広大
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: Keio University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K03474/
• 关键词: 調和写像; 特殊なホロノミー群; キャリブレーション; 写像のエネルギー; 超ケーラー多様体; 幾何学的量子化; K3曲面; スペクトル構造; 正則切断; ボーア・ゾンマーフェルトファイバー; 測度距離空間; 測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束; ケーラー多様体; 正則切断の局所化; シンプレクティック多様体; グロモフ・ハウスドルフ収束; 調和写像; 特殊なホロノミー群; キャリブレーション; 写像のエネルギー; 超ケーラー多様体; 幾何学的量子化; K3曲面; スペクトル構造; 正則切断; ボーア・ゾンマーフェルトファイバー; 測度距離空間; 測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束; ケーラー多様体; 正則切断の局所化; シンプレクティック多様体; グロモフ・ハウスドルフ収束

2022年度は、リーマン多様体の間の写像に対して定義される種々のエネルギーに対して、それを最小化する写像のクラスを新たに定義した。HarveyとLawsonは1989年に、カラビ・ヤウ多様体、G2多様体、Spin(7)多様体において、ホモロジー類の中で体積を最小化する部分多様体のクラスを導入し、それらを一般的な状況でキャリブレートされた部分多様体と名付けた。研究代表者は、彼らの概念を滑らかな写像に対して拡張することを試みて、「キャリブレートされた写像」という概念を新たに定式化した。まず向き付け可能な多様体Xと多様体Yを用意し、さらにX上のエネルギー密度σが与えられている状況を考える。これらの直積多様体上の閉微分形式φに対して、σキャリブレーションという条件を定式化し、さらに(σ,φ)-キャリブレートされた写像という概念を定義した。そして、XからYへの写像fが(σ,φ)-キャリブレートされた写像であるとき、fはσが誘導するエネルギーをホモトピー類の中で最小化することを証明した。また研究代表者が、この新たな概念がHarvey-Lawsonの意味でのキャリブレートされた部分多様体の概念を包含することを証明した。また、(σ,φ)-キャリブレートされた写像の例として、ケーラー多様体間の正則写像と、カラビ・ヤウ多様体からその半分次元の多様体への写像で、正則値の逆像が特殊ラグランジュ部分多様体となるようなものが該当することを証明した。後者は特殊ラグランジュファイブレーションと呼ばれる、カラビ・ヤウ多様体の幾何学における重要な概念である。このように(σ,φ)-キャリブレートされた写像の例は、多様体上に特殊な幾何構造が入る場合に良い具体例が発生することが判明した。

在2022年，我们新定义了一类地图，这些地图最小化了针对Riemann歧管之间地图定义的各种能量。 1989年，哈维（Harvey）和劳森（Lawson）引入了submanifolds类，这些类别可最大程度地减少卡拉比河流形歧管，G2歧管和自旋（7）歧管的同源性的数量，并将其命名为一般情况下的校准子序列。主要研究人员已经提出了“校准图”的概念，以试图将其概念扩展到平滑映射。首先，我们准备可以定向的歧管X和歧管Y，并考虑给出上方x上方的能量密度σ的情况。对于这些乘积歧管上的闭合差分形式φ，制定了条件σ校准，并进一步定义了（σ，φ）定位映射的概念。而且，当x-to-y映射f为（σ，φ）映射图时，f已证明σ最大程度地减少了同型中的诱导能量。首席研究者还表明，这个新概念涵盖了Harvey-Lawson Sensic中校准的子手机的概念。此外，作为（σ，φ）映射的映射的一个例子，已经证明，Kohler歧管和从Karabi-yau歧管到半维流形的映射之间的常规映射，其中常规值的逆图成为特殊的lagrange submanifold。后者是carabian-yau歧管的几何形状中的一个重要概念，称为特殊拉格朗日式易生。已经发现（σ，φ）校准映射的示例当在歧管上包含特殊几何形状时会产生良好的例子。